2.3 Для уран-плутонієвоїщо має форму циліндра

2.3.1 Циліндр нескінченної довжини.

При пошуку узручно перейти з декартових до сферичних координат

Тоді

У силу симетрії поотримуємо

А в силу нескінченного циліндра, отримаємо симетрії рішення по z(незалежне від z)і тому:

Для циліндричної симетрії Лапласіан має вигляд:

(Або в такій формі :)

Для нескінченного циліндра з симетрії непарних чисел, отримаємо:

, (2.3.1)

Тоді рівняння (16) для циліндра нескінченної довжини має вигляд:

, (2.3.2)

І рівняння для калібрувальної функції має вигляд:

, (2.3.3)

Нахай

, (2.3.6)Звідки отримаємо:

,(3.6)

Знайдемо рішення рівняння (2.3.3):

Припускаемо що ,тоді рівняння(2.3.2)має вигляд:

, (2.3.7)

Рішення (2.3.7) відомі, наприклад [3, стор.29] Це рівняння Бесселя і має спільне рішення у вигляді.

, (2.3.8)

Де -функція Бесселя першого роду нульового порядку.Де,гамма функція Єйлера.Та функція Неймана-, де-постійна Єйлера-Маскероні.

Рішення овинно мати властивість безперервностіпри, гдеR- радіус циліндра. Однак функція Нейманаприr=0має логарифмічнуособливість. Отже,, (2.3.9) и,(2.3.10)

Зазначимо, що критичний радіус циліндра згідно [3] дорівнює:, (2.3.10)

- матеріальний параметр делящогосясередовища, що залежить тільки від її складу, а не від геометрії.

Для визначення постійноїми повинні скористатися граничними умовами. Якщо ми хочемо, щоб хвильове горіння відбувалося по всьому перетину циліндра, тобто для всіх,

То , (2.3.11)

Повинна задовольняти граничній умові

, (2.3.12)

2.3.2 Лад циліндра кінцевої довжини.

, (2.3.13)

Тоді рівняння (2.16) длямає вигляд:

, (2.3.14)

Де, дезад.Вираз(2.15).

Рівняння для калібрувальної функції аналогічно (2.3.3) для нескінченного циліндра..

Аналогічно вираженню (3.5) отримаємо: (2.3.15) гдеизад. (2.15)

Розглянемо рівняння (2.3.14).

Будемо шукати його рішення методом розділення змінних:

, (2.3.16)

Підставимо (3.б.4) в (3.б.2)отримаємо:

, (2.3.17)

Вважаючи що , можнарівняння(2.3.17) записати як суму двох наступних рівняннях:

, (2.3.18)

И , (2.3.19)

Рішення рівняння (2.3.18) збігається з рішенням рівняння (2.3.10) для циліндра нескінченної висоти і одно:

, (2.3.20)

Рішення другого легко знаходиться і визначається граничними значеннями концентрацій плутонію 239 для торцевих перерізів циліндра, тобтодля, де Н- висота циліндра.

Решение для цилиндра конечной высоты, получим в виде:

, (2.3.21)