2.2 Для уран-плутонієвої середовища, що має сферичну форму

А) тоді згідно (2.15)и

Для сферичної симетрії при пошуку рішення зручно перейти від декартових координат до сферичних:

.

Тодіі в силу сферичної симетрії ,

, (а також у вигляді )

Для сферичної симетрії рівняння (2.16) має наступний вигляд:

, (2.18)

Рівняння для калібрувальної функціїмає вигляд:

, (2.19)

Знайдемо .

Введемо допоміжну функціюзадамо наступні вирази:

, (2.20)

Підставимо у вигляді (2.20) в рівняння (2.19)

Отримаємо наступне рівняння:

, (2.21)

Нехай, где

Підставимо(2.22) в (2.21):

, (2.23)

Звідки, (2.24)

, (2.25)

Знайдемо рішення рівняння(2.18):

, (2.18)

Вводимо допоміжні змінні :

,(2.26)

Тоді рівняння(2.18) длямаєвигляд:

, (2.27)

Загальне рішення рівняння (2.27) має вигляд:

, где и-const, (2.28)

З(2.28)і(2.27)знаходимо вигляд :

, (2.29)

З(2.29)згідно(2.15)і(2.25) отримаємо вираз для в наступному вигляді:

, (2.30)

Где ;

- коефіцієнт дифузії плутонію 239;и-const.

Оскільки повинна бути у всій області значеньrкінцевою і позитивною, тоA=0 изадані виразом:

, (2.31)

І, (2.32)

Умови горіння у всьому кулі радіуса R:

, (2.33)

Звідси , (2.34)

, (2.35)

Нехай , (2.36)

Тоді, (2.37)

Б) тоді згідно (15)і.

У цьому випадку все як і у випадку а) до рівняння (2.18) тому почнемо з рівняння аналогічного рівняння (2.18):

, (2.38)

И , (2.39)

Знайдемо калібровочну функцію. Введемо допоміжну функцію задамо наступне виразом:

, (2.40)

І підставимоу вигляді (2.40) в рівняння (2.39):

, (2.41)

Або , (2.42)

Нехай(2.43), де.

Тоді підставимо в (2.42) отримаємо:

, (2.44)

З(2.38) отримаємо, що:

, (2.45)

І згідно(2.15)ипідставляючи(2.15) в (2.39)отримаємо:

, (2.46)

Тоді , (2.47)

, (2.48)

Далі все виявляється таким самимяк і для випадку а) згідно співвідношенням (2.18), (2.26)÷(2.37).

, (2.49)

, (2.50)

Тоді, підставляючи(2.50) в (2.49)отримаємо:

, (2.51)

Загальне рішення (2.51) має вигляд:

, (2.52)

Таким чином–буде рішення рівняння(2.51),якщобуде задовольняти рівняння:

, (2.53)

Аналогічно умови і для .

Ми знаємо, що для сферичної симетрії джерело нейтронів:

, (2.54)

Дезалежить від складу середовища та енергії нейтронів.

Цікаво задовольняє(2.54)рівняння(2.53)

и след. , (2.55)