2 Розділ. Нерівноважно-стаціонарна концентрація плутонія 239 хвильового я дерного горіння уран-плутонієвой ділящихся середовищ.

2.1 Рівняння баланса ядер плутонія та його рішення.

Рівняння балансу ядер плутонію має вигляд:

, (2.1)

Де - концентрація ядер плутонію 239,

- щільність потоку ядер плутонію 239, обумовлена термічною дифузією;-об'ем щільність джерела ядер плутонію 239.

Згідно з теоремою Гаусса-Остроградського:

, (2.2)

Підставляючи (2) в (1) для рівняння балансу ядер плутонію 239 отримаємо:

, (2.3)

Звільняючись від інтегрування за обсягом з (2.3) отримуємо таке кінетичне рівняння для;

, (2.4)

Використовуючи перший закон Фіка для термічної дифузії плутонію 239, щільність потоку ядер плутонію 239 можна записати в наступному вигляді:

, (2.5)

Де D-коефіцієнт термічної дифузії, причому, D = Const, тобто, розглядається ізотропне дифузійне середовище.

Підставляючи вираз (2.5) для в рівняння (2.4) одержимо:

(2.6)

Згідно роботі [1] для уран-плутонієвої ділящогосясередовища можна записати наступним чином:

, (2.7)

Де- щільність потоку нейтронів;- початкова концентрація ядер урану 238;- перетин радіаційного захоплення нейтрона ядром урану 238;- перетин поглинання нейтрона ядром плутонію 239, причому,, де-перетин реакції радіаційного захоплення нейтрона ядром плутонію 239,-перетин реакції поділу ядра плутонію ,- концентрація ядер плутонію 239.

Підставляючи вираз (2.7) в рівняння (2.6) отримаємо наступне рівняння:

, (2.8)

Знайдемо стаціонарне рішення рівняння (2.8) для концентрації ядер плутонію 239. Для цього вважаємо, що:

и , (2.9)

Підставляючи (2.9) в (2.8) отримуємо таке рівняння для нерівноважної-стаціонарної концентрації ядер плутонію 239 :

, (2.10)

Де введено позначення , яке дорівнює:

, (2.11)

Рівняння (2.10) можна записати в наступному еквіваленті вида:

, (2.12)

Где и, (2.13)

Спрощуючи завдання, вважаємо.

Тоді рівняння (2.12) має вигляд:

, (2.14)

Деи

Рівняння (2.14)- неоднорідне диференціальне рівняння щодо , бо містить _.

При , рівняння (2.14) стає однорідним диференціальним рівнянням, рішення якого у вигляді комбінації експонент експоненційної хвилі добре відомо, наприклад, [2,3].

Перетворимо неоднорідне рівняння (2.14) до однорідного множенню для операції, яка у фізиці називається операцією градієнтного калібрування рішення диференціального рівняння, а в математиці ця операція пошуку спільного рішення неоднорідного диференціального рівняння зводиться до знаходження приватного рішення неоднорідного диференціального рівняння і утворення його лінійної комбінації з відомою загальним рішенням однорідного диференціального рівняння.

Проведемо операцію градієнтного калібрування.

Нехай

,(15)

Де- довільна функція від , ка задовольняє рівнянню для, що випливає з рівняння (2.14) при підстановці в нього вираз (2.15) тароблющого рівняннядляоднорідним диференціальним рівнянням.

Таким чином підставляємо (2.15) в рівняння (2.14):

Зажадаємо, щоб задовольнила наступному рівнянню:

, (2.17)

Тоді рівняння для стає однорідним

, (2.16)

Рішення яке у вигляді експоненційних хвиль добре відомо.

Якщо ми знайдемо будь-яке рішення рівняння (2.17) для , то знаючи видсогласно выражению (2.15) мизможемознайти , яке і буде нашим рішенням нашого неоднорідного рівняння (2.14). Знайдемо рішення для неоднорідного рівняння (2.14) для уран-плутонієвої ділящогося середовища, що має циліндричну і сферичну форму