1.2.1 Реактор у формі циліндра кінцевої висоти.

Хвильове рівняння (1.20) в двовимірній циліндричній геометрії [57] має вигляд

_(1.27)

за крайових умов

Його рішення можна знайти методом розділення змінних, припустивши . Після підстановки передбачуваного рішення в початкове рівняння отримаємо

Представивши можна записати систему двох рівнянь з відповідними крайовими умовами:

(1.28)

Очевидно, що рішення першого рівняння співпадає з рішенням для нескінченного циліндра, рішення другого — з рішенням для пластини:

(1.29)

Зважаючи на ідентичність і крайові умови

_(1.30)

Тоді критична умова набирає вигляду

_(1.31)

1.2.2. Активна зона реактора у формі кулі

У хвилевому рівнянні для такої системи лапласіан [57, 60, 61] запишеться в сферичних координатах і ми отримаємо

(1.32)

Перетворимо рівняння (1.32) за допомогою підстановки :

(1.33)

оскільки _.Рівняння (1.33) має два лінів але незалежних рішення:і. Тому

(1.34)

Суперпозицію рішень іможна записати також у формі

(1.35)

де амплітуда С і фазасуть постійні інтеграції.

Сформулюємо крайові умови, а саме:

1)

2)- умова безперервності рішення при.

З другого крайового умова виходить, що а з першого

чи ;

Звідки

При і

(1.36)

З умови [57] критичності видно, що реактор може знаходитися в стаціонарному стані при певному значенніR,а саме коли

(1.37)

або

(1.38)

Цей радіус Rі єкритичним радіусом реактора [57].

Розглянемо хід потоку нейтронів усередині активної зони (мал. 1.2). Потік нейтронів позитивний, оскількийде в нуль усередині сфери не звертається. Якщото потік приобов'язково приймав би нульові, а отже, і негативні значення. Тому усі рішення звідкидаються. У рішення співмножником входить довільна константа С₁яка характеризує потужність реактора. ДовільністьС₁говорить про те, що реактор може мати різну потужність, але все таки залишатися в стаціонарному стані.

Оцінимо величину Rдля важководного реактора на теплових нейтронах. Критичний радіус реактора прямо пропорційний довжині дифузіїLі обернено пропорційний. Тоді, якщо прийняти,L=32 cm,те

Мал. 1.2. Розподіл потоку нейтронів в сферичній активній зоні

1.2.3 Мінімальний критичний об'єм для реактора

Згідно з [57] спробуємо відшукати оптимальне співвідношення між висотою і радіусом циліндра, виходячи з умови мінімальності критичного об'єму. Для вирішення завдання скористаємося методом невизначених множників Лагранжа [61]. Щоб знайти умовний екстремум функції при зв'язці між аргументамискладемо допоміжну функцію де- невизначений множник, і прирівняємо нулю її похідні поHіR:

Виразив з першого рівняння і підставивши його в друге, після простих перетворень отримаємо

_(1.39)

При цьому співвідношенні між висотою і радіусом мінімальний критичний об'єм циліндра рівний

_(1.40)

Порівняння критичних умов для реактора кінцевих розмірів показує, що при заданому матеріальному параметрі [57] середовища можна однозначно визначити критичний радіус куліі критичний об'єм, що відповідає йому :

(1.41)