1.2 Критичний розмір реактора

Визначимо згідно з [57] розміри (при заданій формі) розмножуючого середовища, в якому виникає ланцюгова реакція.

Якщо довжина пробігу нейтрона, що сповільнюється, і перерізу ядерних реакцій не залежать від енергії, то стаціонарні завдання можна розглядати як для моноенергетичного випадку, який називатимемо одногруповим наближенням.Насправді не існує реактора з потоком моноенергетичних нейтронів. До моноенергетичного випадку близький реактор на теплових нейтронах, в якому процес уповільнення нейтронів визначається малою довжиною міграції нейтрона, а процес дифузії теплових нейтронів навпаки, має велику довжину міграції, як, наприклад, у важководному реакторі при малій концентрації ядерного палива, Крім того, фізично великий реактор, в якому довжина міграції багато менше розмірів активної зони, також можна приблизно трактувати в одногруповому наближенні; усе це значно розширює сферу застосування одногрупового наближення.

Розглянемо деяке середовище, що розмножує нейтрони. Припустимо, що вона однорідна, відбивач відсутній і _.Складемо рівняння балансу нейтронів в елементі об'єму такого середовища. Процес дифузії вважаємо стаціонарним. Тоді

_(1.16)

де j— швидкість генерації нейтронів в одиничному об'ємі;i— струм нейтронів;div i— швидкість витоку нейтронів з одиничного об'єму;— швидкість поглинання в нім нейтронів.

У розмножуючому середовищі jобумовлена процесом ділення, а тому

_(1.17)

Отже

Для встановлення зв'язку між струмом i і потоком нейтронів Ф приблизно, але з хорошою точністю можна прийняти співвідношення елементарної теорії дифузії : (D - коефіцієнт дифузії). Тоді приходимо до рівняння

_(1.18)

Ввівши позначення

_(1.19)

Де - квадрат довжини дифузії [57], отримаємо рівняння

_(1.20)

Величину називаютьматеріальним параметром розмножуючого середовища[57], оскільки вона визначається не розмірами і геометричною формою тіла, а тільки здатністю матеріального середовища розсіювати і розмножувати нейтрони. Величинадля середовища, що мультиплікує, відрізняється від, відомого з теорії дифузії : змінюються його значення і знак. У розмножуючому середовищіу нерозмножуючому або слабо розмножуючому середовищі.

Крайові умови залишаються ті ж, що і для чисто дифузійних завдань: потік нейтронів має бути безперервною функцією координат і повинен перетворюватися на нуль на екстрапольованій межі S*об'єму V,в якому відбуваються дифузія і розмноження нейтронів, т. е.

(1.21)

Де R₀- точка на істинній поверхні розмножуючого середовища;- зовнішня нормаль в цій точці. Крім того, потік нейтронів усюди вVне негативний.

У теорії реакторів використовують рівняння Гельмгольца [58,59]

_(1.22)

яке іноді називають хвилевим [60], а - хвилевим числом. За крайової умови (1.21) хвилеве рівняння має рахункову (нескінченне) безліч лінійно незалежних рішень - власних функцій

_(1.23)

Кожному рішенню чи кожній власній функції (n- oй гармоніці) відповідає власне значення - оператора Лапласа [61] причому

_(1.24)

Число менше усіхі обов'язково просте, т. е, йому належить тільки одна (з точністю до постійного множника) власна функція. У будь-якій одновимірній геометрії усі власні значення оператора Лапласа [61] обов'язково прості

_(1.24а)

У загальному випадку кожному власному значенню належить кінцеве число лінійно незалежних власних функцій і тому в ряду (1.24) можуть бути числа, що повторюються. Тільки одна з функцій, а саме нульова гармоніка, що належить найменшому (по абсолютному значенню) власному значенню оператора Лапласа, не має вузлових точок у загальному випадку вузлових поверхонь - геометричних місць точок, де тобто не міняє знаку усерединіVі позитивна. Усі інші функціїприn>0знакозмінних.

Завдання на критичний стан моноенергетичного реактора визначається рівнянням (1.20) з крайовою умовою (1.21). Її рішення зобов'язане задовольняти очевидній додатковій фізичній умові - позитивності функції розподілу потоку нейтронів. Звідси витікає, що поставлене стаціонарне завдання має рішення тільки у тому випадку, якщо

_(1.25)

тоді в силу лінійності рівняння

_(1.26)

де С- довільне позитивне число. Найменше за абсолютною величиною власне значення називаютьгеометричним параметром [57]. На відміну від матеріального параметра геометричний параметр залежить від форми і розміру активної зони, але не залежить від властивостей середовища, що мультиплікує.

Рівність означає, що існують певні форми і розміри, при яких в обмеженому середовищі, що мультиплікує, можливий стаціонарний стан поля нейтронів. Відповідний характерний розмір називають критичним.

Об'єм, в якому розмножуюче середовище може знаходитися в стаціонарному стані, називають критичнимоб'ємом.Маса речовини, що ділиться, в цьому об'ємі називається критичною.

Знайдемо критичні розміри розмножуючого середовища для різних геометричних форм однорідної активної зони, межуючої з вакуумом [57, 60, 61].