3. Второе и третье достаточные условия локального экстремума

Теорема 2 (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена на _{, , и выполняются условия:}

_{1. ;}

_{2. существует ,}

_{тогда имеет локальный экстремум в точке , а именно}

• _{локальный максимум, если ;}

• _{локальный минимум, если .}

_{Второе достаточное условие является частным случаем третьего достаточного условия локального экстремума.}

Пусть функция определена на _{и раз дифференцирована в точке , и выполняются условия:}

_,

₍₁₎

_.

_{Воспользуемся для формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:}

_{, ,}

_{которая, учитывая условия (1), принимает вид:}

_{, . (2)}

_{Запишем остаточный член в следующем виде:}

_{, де .}

_{Тогда из (2) получим:}

_{. (3)}

_{Поскольку , то для любых , достаточно близких к имеем:}

_.

_{Рассмотрим два возможных случая для значения .}

_{1. Пусть - четное, т.е. . Допустим, что . Тогда при переходе через правая часть (3) будет сохранять знак «+», то есть при всех , достаточно близких к , имеем:}

_,

_{т.е. в точке функция имеет локальный минимум.}

_{Аналогично получим, что когда и , то имеет в точке локальный максимум.}

_{2. Пусть - нечетное, т.е. . Допустим, что . Тогда для в достаточно малой окрестности имеем:}

_{, (4)}

_{а для в достаточно малой окрестности имеем:}

_{. (5)}

_{Из (4) и (5) вытекает, что экстремума в точке нет.}

_{Мы доказали следующую теорему.}

_{Теорема 3 (третье достаточное условие локального экстремума).} Пусть функция определена на _{, раз дифференцирована в точке , и выполняются условия (1). Тогда если - четное, то имеет локальный экстремум в точке (локальный максимум, когда , локальный минимум, когда ). Если - нечетное, то экстремума в точке нет.}

4. Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Пусть функция определена и непрерывна на _{, дифференцирована в , за исключением конечного количества точек. По первой и второй теоремам Вейерштрасса она ограничена и достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней границ, которые являются ее наибольшим и наименьшим значениями на этом сегменте. Надо эти значения найти.}

_{Допустим, что не имеет на точек, где , или не существует. Это означает, что сохраняет свой знак везде на , а функция - строго монотонна на . Тогда наименьшее и наибольшее значения она будет принимать на концах сегмента .}

_{Если на сегменте имеет конечное число точек , где не существует или равняется нулю, то эти точки разбивают сегмент на частичные сегменты: , в каждом из которых уже нет таких точек, где или не существует, а потому - строго монотонна на каждом из , а потому наименьшее и наибольшее значения она будет принимать на концах .}

_{Таким образом, для того, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной на сегменте функции надо:}

_{1. Найти производную функции на ;}

_{2. Найти все стационарные точки функции, и точки, в которых не существует, которые принадлежат . Обозначим эти точки ;}

_{3. Вычислить значения ;}

_{4. Сравнить все значения, полученные на предыдущем шаге, и выбрать из них наименьшее и наибольшее.}

_{Пример. Для функции найти ее наименьшее и наибольшее значения на сегменте . На функция является непрерывной. Выполним последовательно все 4 вышеперечисленные действия:}

_{1. ;}

_{2. Производная не существует там, где ее знаменатель равняется 0:}

_.

_{Стационарные точки функции определяются при решении уравнения:}

_.

_{Таким образом, на следующем шаге надо будет вычислить значения функции в точках: .}

_{3. .}

_{4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения из полученных на предыдущем шаге. Наибольшее значение на сегменте функция принимает в точке , и это значение , наименьшее значение - .}