3. Метод замены переменной для вычисления неопределенного интеграла

Теорема 2. Пусть функция определена на интервале и имеет тут первообразную , и пусть функция имеет производную везде на области определения и принимает значения в . Тогда функция имеет первообразную . Иначе говоря: Пусть надо вычислить интеграл

.

Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию , чтобы подинтегральное выражение можно было представить в виде:

,

где — более удобная для интегрирования функция, чем . Тогда достаточно найти интеграл

,

чтобы из него подстановкой получить искомый интеграл:

.

Доказательство. Проверим, что полученная функция действительно будет первообразной для :

,

что и требовалось доказать.

Проще всего замена проводится тогда, когда в представленном виде подинтегрального выражения в качестве множителя уже присутствует производная от новой переменной (хотя так бывает далеко не всегда).

Пример. .

Подинтегральное выражение вместе с содержит в качестве множителя . Это говорит в пользу замены: .

.

4. Метод интегрирования по частям

Теорема 3. Пусть функции определены и дифференцированы на , — непрерывны на , и функция имеет первообразную на этом интервале. Тогда функция также имеет первообразную на и выполняется равенство:

, (3.9)

или, учитывая, что , а , формулу (3.9) можно записать в эквивалентном виде:

. (3.10)

Формулы (3.9), (3.10) называются формулами интегрирования по частям.

Доказательство. По правилу вычисления производной произведения:

. (3*)

Учитывая свойство 1 неопределенного интеграла, при интегрировании левой части (3*) получим:

.

После интегрирования правой части (3*) имеем:

.

Таким образом:

.

Метод интегрирования по частям часто используется в случаях, когда подинтегральное выражение в качестве множителей одновременно содержит: степенную () и тригонометрическую ( и т.д.) функции; степенную и обратную тригонометрическую ( и т.д.); показательную () и тригонометрическую; логарифмическую и тригонометрическую ( или обратную тригонометрическую) и т.д.

Пример. Вычислить .

Подинтегральное выражение содержит три множителя: . Как разбить это выражение на части и , которые фигурируют в правой части (3.10)? Ясно, что множитель может оказаться лишь в , а для двух других множителей возможны варианты: , тогда , или , тогда . Рассмотрим оба варианта.

. (3.11)

Надо отметить, что при восстановлении функции с помощью операции , достаточно взять лишь одну первообразную. В нашем примере мы выбираем в конкретном виде: , а не в общем виде: . Произвольная постоянная при вычислении неопределенного интеграла учитывается в окончательном его выражении.

Сделанная разбивка подинтегрального выражения на части привела к значительному его упрощению - табличному интегралу в правой части (3.11). Таким образом:

. (3.12)

Посмотрим, как повлияет на сложность вычислений другой вариант разбивки, упомянутый выше:

(3.13)

Формула интегрирования по частям используется вообще с целью упрощения подинтегрального выражения, но, как видно из правой части (3.13), в данном случае мы не упростили, а усложнили интеграл. Понятно, что из двух возможных вариантов разбивки надо выбирать первый.