Завдання до контрольної роботи № 1

1-10. Знайти похідні даних функцій:

1. a) ; b) ;	2. а) ; b) .
3. a) ; b) ;	4. a) ; b) ;
5. a) ; b) .	6. a) ; c) ;
7. a) ; b) .	8. a) ; b) ;
9. a) ; b) ;	10. a) ; b) ;

11-20. Дослідити методами диференціального числення функцію та, використовуючи результати дослідження, побудувати її графік

11.	12.	13.	14.
15.	16.	17.	18.
19.	20.

21-30 Знайти: ) в точці А; b) похідну функціїв точці А у напрямку вектора.

21. ,

22 ,.

23 ,.

24. ,.

25. ,.

26 ,.

27 ,.

28 ,.

29 ,

30 ,.

31-40. Знайти найбільше та найменше значення функції u у замкнутій області D. Зробити креслення.

31. .

32. ,.

33. ,.

34 ,.

35 ,.

36. ,.

37 ,.

38 ,.

39. ,

40. ,

41-50. Знайти невизначені інтеграли. В двох перших прикладах перевірити результати диференціюванням:

41. a) ;b) ;c) .

42. a) ;b) ;c) .

43. a) ; b); c);

44. a) ; b); c).

45. a) ; b); c);

46. a) ; b); c);

47. a) ; b); c);

48. a) ; b); c);

49. a) ; b); c).

50. a) ; b); c).

51. Обчислити довжину однієї арки циклоїди: ,,. Зробити креслення.

52. Обчислити площу фігури, яка обмежена параболою та прямою. Зробити креслення.

53. Обчислити площу фігури, яка обмежена однією аркою циклоїди: ,,віссю. Зробити креслення.

54. Обчислити площу фігури, яка обмежена кардіоїдою . Зробити креслення.

55. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, яка обмежена параболамита. Зробити креслення.

56. Обчислити площу фігури, яка обмежена чотирипелюстковою трояндою . Зробити креслення.

57. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи від точкидо точки. Зробити креслення.

58. Обчислити довжину кардіоїди . Зробити креслення.

59. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, яка обмежена лініями,. Зробити креслення.

60. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, яка обмежена лініями,. Зробити креслення.

61-70. Розв’язати вказані рівняння та систему диференціальних рівнянь:

61. a) , b) , c) ,, d) , e) , f)	62. a) , b) , c) ,, d) , e) ,,, f)
63. a) , b) ,, c) , d) ,,,, e) , f)	64. a) , b) , c) ,, d) , e) ,,, f)
65. a) , b) , c) , d) ,,, e) , f)	66. a) , b) , c) ,, d) , e) , f)
67. a) , b) ,, c) , d) ,, e) , f)	68. a) , b) ,, c) , d) , e) , f)
69. a) , b) , c) , d) , e) , f)	70. a) , b) , c) , d) ,, e) , f)

71-80.

Знайти закон зміни сили струму при перехідному процесі у ланцюгу після комутації (розмикання вимикача).

Вказівки до розв’язання.

Після розмикання вимикача сила струмуу всіх елементах ланцюга стає однаковою. Відповідно до другого закону Кірхгофа можемо записати:

, (1)

де

,,

Підстановка ,,у (1) дає інтегрально-диференціальне рівняння, яке диференціюванням за змінноюперетворюється у лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами. (Підстановку та диференціювання пропонується виконати самостійно).

Початкове значення шуканої величини та її похідноївизначаються за законами комутації та заков Кірхгофа для моменту часу одразу після комутації ().

З першого закону комутації, відповідно якого сила току в котушці не може змінюватися скачкоподібно, визначається початкове значення сили току. Дійсно, так як до розмикання струм у котушці був відсутній, то і після розмикання сила струму у котушці і всіх послідовно з’єднаних з нею елементів дорівнює нулю, тобто

(2)

До розмикання напруга на конденсаторі також дорівнює нулю. Відповідно до другого закону комутації, напруга на конденсаторі не може змінюватися скачкоподібно. Тому і після розмикання, напруга дорівнює нулю, тобто

.

Підставляючи иу формулу (1) та, враховуючи, що, отримаємо длянаступну умову

,

Звідки

. (3)

Розв’язуючи отримане диференціальне рівняння з початковими умовами (2), (3), визначають закон зміни сили струму .

ВАРИАНТИ:

№ варіанта	(V)	()	(H)	()
71		20	0,4	75
72		50	0,5	50
73		25	0,25	50
74		10	0,3	60
75		20	0,5	40
76		15	0,4	50
77		25	0,2	20
78		5	1,0	50
79		50	0,15	5
80		22,5	0,6	30