35, 40, 37, 43, 45.

Обробити результати вимірювання, вважаючи, що надійна імовірність становить = 95%.

Розв’язок.

В даному прикладі випадкова похибка значно перевершує інструментальну, тому вимірювання здійснювались декілька разів, а півширину надійного інтервалу при надійній імовірності α треба обчисляти за формулою

,

Коефіцієнт Стьюдента при даній надійній імовірності = 95% та п = 5 знаходимо у таблиці розподілу Стьюдента

.

Вибіркове середнє та вибіркова оцінка стандартного відхилення s результатів вимірювань від вибіркового середнього обчислюются за відомими формулами

.

Півширина надійного інтервалу дорівнює

мм .

Кінцева відповідь має вигляд

мм , .

У відповідності з вимогами державного стандарту у відповіді для абсолютної похибки залишена одна значуща цифра, а числове значення результату вимірювань закінчується цифрою того ж розряду, що і значення абсолютної похибки.

Практичне обчислення похибок посередніх вимірювань

Задача посередніх вимірювань - знаходження шуканої величини U, яка є відомою функцією однієї або декількох змінних . У загальному випадку ця задача громіздка. Слід вирахувати для кожного набору даних і далі обробляти одержані значення як звичайну виборку за загальними правилами побудови інтервальної оцінки.

Проте, задача звичайно спрощується через те, що похибки аргументів малі, а частинні похідні функції кінцеві. У цьому випадку необхідно заздалегідь обробити результати вимірювань змінних та представити їх у стандартній формі

од.вим., Р = ;

од.вим., Р = ;

од.вим., Р = ;

......................................... .

Кінцева мета - знайти величину U, представивши відповідь у вигляді

од.вим., Р = .

Точкову оцінку одержують підстановкою вибіркових середніх у формулу та необхідними обчисленнями

.

Похибки посередніх вимірювань обчислюють за формулами:

* абсолютна похибка (півширина надійного інтервалу)

• відносна похибка E

.

Природно, що обчислюють за формулами тільки одну з похибок, а саме, ту, яку вирахувати простіше. Другу похибку визначають, використовуючи формулу

.

Для різних окремих випадків формули для абсолютної та відносної похибки спрощуються. Так, для алгебраічної суми

зручніше першою обчислити абсолютну похибку

,

а для додатків, часток, ступенів та коренів такі функції у загальному випадку можуть бути представлені у вигляді

,

де - будь-які дійсні числа (додатні та від’ємні, цілі та дробові) зручніше першою обчисляти відносну похибку

.

Приклад 4.

Визначити опір шкіри людини, виходячи з даних прямих вимірювань прикладеної напруги U

,

а також сили струму I, пройшовшого через живу тканину,

.

Опір шкіри R визначається формулою

.

Розв’язок.

Точкова оцінка опору шкіри равна

(ом).

Формула відноситься до випадку, коли зручніше першою обчислювати відносну похибку

.

Абсолютна похибка дорівнює

(ом).

Результат посереднього вимірювання опору шкіри R становить

(ом), .

Обробка результатів спільних вимірювань

На практиці сама необхідність вимірювань більшості величин викликається cаме тим, що вони не залишаються постійними, а змінюються при зміненні інших величин. У цьому випадку метою вимірювання є визначення виду залежності між величинами, що виміряються.

Основною завадою для визначення виду залежності між величинами, що виміряються, є випадковий розкид дослідних даних.

* якщо випадковий розкид змінних Х та Y майже відсутній ( дифузність вихідних даних мала ), то графік можна побудувати, проводячи через ці точки плавну криву; при цьому одну або декілька точок, що не влучили на неї, слід розглядати як можливі промахи.

* якщо дифузність вихідних даних значна, то для їх обробки треба застосовувати статистичні методи.

Y

* * * * **

* * * * *

* * * *

*

* * * * * *

* *

X

Одним з найпростіших експрес-методов статистичної обробки є метод обведення контуру плавних меж смуги розсіювання експериментальних точок. Якщо при цьому для збереження плавності меж деякі з точок доводиться залишити поза контуром, то їх розглядають як можливі промахи або аномально великі випадкові відхилення. Форма обведеної контуром смуги розсіювання експериментальних точок часто вже дозволяє зробити висновок про характер залежності між змінними Х та Y. Для вказівки цієї залежності необхідно провести на око осьову лінію цього контуру. Не дивлячись на простоту методу контурів, він дозволяє швидко визначити положення та форму шуканої кривої та провести її, враховуючи розташування всіх експериментальних точок.

При великій дифузності даних, коли метод контурів не дає відповіді, може бути корисним метод медіанних центрів.

Обведене контуром поле точок ділять на декілька рівних частин ( 3 - 5 ) та у кожній з них знаходять медіанний центр, тобто точку перетинання вертикальної та горизонтальної ліній зліва та справа, та вище та нижче від яких розташовано рівне число точок. Потім через медіанні центри проводять плавну лінію. При використанні методу медіаних центрів промахи виключати не треба, оскільки оцінка положення центру за допомогою медіани нечутлива до промахів.

Для одержання рівняння кривої, що описує залежність між змінними Х та Y, звичайно користуються методом найменших квадратів. Для цього обирають придатну функцію

,

що залежить від деяких параметрів , які підбирають так, щоб сума квадратів відхилень наближеної залежності

y =

від усіх експериментальних значень була мінімальною

.

Для мінімізації вираховують частинні похідні

,

прирівнюють їх нулю та вирішують одержану систему p рівнянь

відносно невідомих .