ФИЗИКА (лекции часть 1) - Колебания и волны

(Q»100), чем токи в ветвях контура, т.е. потребляемый контуром от источника ток во много раз меньше токов в самом контуре. Эта особенность и послужила основой названия “резонанс токов”. Параллельный контур широко используется в радиотехнике в резонансных усилителях для усиления сигналов узкого диапазона частоты вблизиw0. Контур в этом случае является нагрузкой усилительного элемента, например транзистора (см. рис.1.13).

много раз большее, чем сигналы других частот.

На первый взгляд входной и выходной контуры в усилителе рис.1.13 ничем не отличаются. Однако отличие состоит в способе введения внешней ЭДС в контур. Во входном контуре ЭДС возникает в индуктивности и оказывается включеннойпоследовательно с L1 и С1. В выходном контуре в роли генератора выступает транзистор, который через цепь питания подключен параллельно контуру L2, С2.

1.10. Работа и мощность переменного тока

Будем считать ток в цепи изменяющимся по гармоническому законуi=i sinwt. Если

0

сопротивление цепи чисто активноеR=r, то напряжение изменяется по аналогичному закону

11

амплитудными значениями i0 и u0. В реальных условиях мощность определяется за большое количество периодов колебаний, поэтому РТ можно считать средней мощностью.

Если цепь содержит активное и реактивное сопротивления, то между током и напряжением имеется сдвиг фаз j. Тогда из рис.1.9 можно записать uак=ucosj и upе=usinj или

uaк=u0sinwtcosj и upе=u0sin(wt±p/2)sinj=u0coswtsinj.

Энергия, выделяемая током на активном и реактивном сопротивлениях за периодТ, в соответствии с (1.47) определяется

генератором в нагрузку в одну часть периода, передается обратно в генератор в следующую

2.1. Уравнение упругих волн

При возбуждении в каком-либо месте упругой среды колебаний ее частиц, вследствие взаимодействия между ними, эти колебания распространяются от частицы к частице, .е. возникают деформации, которые передаются от одного участка к другому. Процесс распространения колебаний в пространстве и называетсяволновым процессом, или простой волной. В процессе распространения волны в упругой среде частицы совершают колебания около своих положений равновесия, т.е. в результате не происходит переноса вещества. По направлению колебания частиц относительно направления распространения волны различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны, а в поперечной — перпендикулярно к направлению ее распространения. Упругие поперечные волны возникают только в среде, в которой возникают межмолекулярные силы при сдвиговых деформациях. Поэтому в жидкостях и газах(где

12

появляются межмолекулярные силы при деформациях сжатия и растяжения) возникают только продольные волны, в то время как в твердых телах возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Волновой процесс, распространяясь от источника колебаний, постоянно охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны. Он отделяет часть пространства, вовлеченного в волновой процесс, от области, в которой колебания еще отсутствуют. Поверхность, в которой все частицы колеблются в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. В каждый момент времениt волновой фронт существует только один, а волновых поверхностей — бесконечное множество, ибо их можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом.

Форма волновых поверхностей может быть разнообразной. В простейших случаях они могут иметь форму плоскости или сферы. Направление, вдоль которого распространяется волна, называется лучом.

При описании упругой волны требуется найти амплитуду и фазу колебаний в различных точках среды, а также характер изменения этих величин со временем. Пусть, например, в точке х=0 (рис.2.1.) частицы колеблются в направленииy по

гармоническому закону у=у0×sinwt и волна распространяется вдоль оси х. В точке х=0 при t=0 y=0, т.е. начальную фазу считаем равной 0. Все волновые поверхности перпендикулярны к осих, и волна является плоской. В

произвольной точке х колебания частиц в перпендикулярной плоскости (точка А) отстают по времени на величину tА от колебаний частиц в плоскостих=0, ибо, чтобы пройти путь от плоскости х=0 до плоскостих (точка А), волне требуется времяtA=x/v (v - скорость распространения волны). Следовательно, в плоскости х колебания частиц определяются формулой

Если начальная фаза колебаний не равна нулю, то она, как обычно, суммируется с остальными слагаемыми в круглой скобке.

Волновая поверхность волны, распространяющейся из точечного источника колебаний в однородной среде, представляют собой сферу. Уравнение сферической волны

13

где r — расстояние от источника. Если при распространении в однородной среде происходит поглощение энергии волны, то в уравнениях ( 2.1 ), ( 2.4), ( 2.5 ) необходимо умножить yo на ехр(-aх), где a - коэффициент поглощения.

Распространение волн в однородной изотропной непоглащающей среде описывается

волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных:

где x(x,y,z,t) - смещение частицы среды с координатами (x,y,z) в момент времени t, v – фазовая

искомой функции).

Покажем, что плоская незатухающая волна (2.1) удовлетворяет волновому уравнению. Для этого дифференцируем(2.1) по t и пох (так как производные по второй и третьей координате в операторе Лапласа от (2.1) равны нулю). Получим выражения:

Приравнивая -w2y, выраженные из обоих уравнений получим :

Это дифференциальное уравнение соответствует волновому уравнению для случая плоской незатухающей волны.

В этом параграфе в качестве величины у нами рассматривалось смещение частицы от положения равновесия (см. рис. 2.1). Однако в качествеу также может рассматриваться давление или объем газа, напряженность электрического или магнитного поля и любая другая величина, характеризующая волновой процесс. Поэтому можно заключить, что если какаялибо величина у зависит от координат и времени таким образом, что ее частные производные удовлетворяют уравнению (2.5), то она распространяется в виде плоской волны со скоростью

2.2 Скорость распространения упругих волн в различных веществах. Звуковые волны.

Как отмечалось выше, при распространении упругой волны происходит деформация вещества. Деформация сжатия или растяжения твердого тела характеризуется относительным изменением его длины

e=D l / l0, а упругие свойства твердого тела - модулем Юнга

E = s/e,

где s= F/S - называется напряжением (отношение силы к величине поверхности, на которую она действует). Очевидно, Е измеряется в тех же единицах, что и давление (1 Па = 1 Н/м2). Расчеты показывают, что скорость продольных упругих волн в твердом теле, согласно (2.7), определяется как

14

где P и r — давление и плотность газа, а g — отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.

Наибольший интерес для связи представляют звуковые волны в газах. При обычных

среднее значение плотности потока энергии в единицу времени, которую несет звуковая волна (Вт/м2); Iо - порог слышимости - минимальная интенсивность звука, которую можно почувствовать (порядка 10-12 Вт/м2); L = lg ( I/Io) - громкость звука

( единица измерения бел - 1 Б). Обычно используют единицу измерения децибел (дБ), в 10 раз меньшую бела, и

интенсивности от 10-12 до 10 Вт/м2.

По формуле (2.12) определяется и затухание волны на некотором пути от первой точки

2.3 Эффект Доплера

Рассмотрим источник звука И с частотой nо и приемник П (рис.2.2), расположенные друг

l= lо - uИ ×То =(v- uИ)×То

ачастота принимаемых колебаний увеличится:

15

Общность этого вывода не изменится при любом количествеN длин волн между И и П, так как тогда lN = loN -uИ×ТоN и приходим к тому же выражению (2.14).

Если же П движется к И со скоростью uП (рис.2.2,б), то начало волны попадает вП на расстоянии l от И. Соответственно,

l0 =l + uП×T = vT + uП×T = ( v + uП)×T,

откуда

т.е. частота принимаемых колебаний также увеличивается.

При одновременном движении И и П на основании (2.14) и (2.15) можно записать

где верхний знак соответствует встречному направлениюИ П, а нижний - противоположному. Эффект Доплера легко наблюдать в жизни. Так, если над нами пролетает реактивный самолет, то при приближении частота воспринимаемого звука выше, чем при удалении.

2.4. Электромагнитные волны вдоль проводов

Рассмотрим бесконечную двухпроводную линию, на вход которой подключен генератор переменной э.д.с. e=eо×sinwt (рис.2.3,а). При низких частотах в такой линии вдоль проводов протекает обычный ток проводимости in, заряды перемещаются вдоль линии, а вместе с ними и электрическое поле. На высоких частотах к току проводимости добавляется ток смещения между проводами (как в конденсаторе) ic=S×ee0׶E/¶t, который возбуждает электромагнитные волны, также перемещающие электрическое поле Е.

точке х уничтожаются встречными полямиЕ и Н и

1 2 2

отрицательный полупериод изменения e. Следовательно, если в начале линии напряженность электрического поля изменяется по гармоническому закону и частота колебаний достаточно высока для возникновения токов смещения, то вдоль линии распространяются бегущие электромагнитные волны (ЭМВ).

16

В длинных линиях при распространении ЭМВ одновременно с токами смещения возникают и токи проводимости (штриховая линия на рис.2.3,б). Поскольку реальная линия обладает сопротивлением, на котором теряется часть энергии ЭМВ, волна является затухающей, т.е. Ео и Но уменьшаются при продвижении ЭМВ.

2.5. Стоячие электромагнитные волны.

Возникновение электромагнитных волн мы рассматриваем в бесконечно длинн линиях. Однако на практике имеют дело с линиями конечной длины, на которой укладывается сравнительно небольшое число длин волн. При этом важную роль играет отражение ЭМВ от концов линии. Первоначальная волна и отраженные волны, складываясь, могут создавать стоячие ЭМВ.

Колебания электрического поля первичной волны в точке x линии определяются как

Е1 = Ео×sin(wt - kx ).

Колебания поля отраженной от конца линии волны в той же точке x имеют вид

Е2 = Ео×sin(wt+kx-j),

где j - величина запаздывания по фазе колебаний поля отраженной волны в точкеx=0 по сравнению с колебаниями первичной волны в той же точке. Такое запаздывание возможно по двум причинам. Первая связана с тем, что до возвращения в точку0 волна должна дважды пройти всю длину линии l, следовательно, возникает отставание по фазе2p×2l/l. Вторая - связана с тем, что при отражении от конца линии возможно изменение фазы на p.

Результирующее поле первичной и отраженной волн

т.е. в линии происходят колебания с частотой первичной волны и с начальной фазойj/2. Амплитуда колебаний Ео различна в различных точках линии и зависит от координаты х:

Ео =2Е cos ( kx - j/2).

и расстояние между двумя соседними пучностями равно хn= l/2.

Точки, где амплитуда равна нулю (косинус равен 0), называются узлами. Координаты узлов поля стоячей ЭМВ определяются из условия

17

и расстояние между соседними узламиDху=l/2. При переходе через узел косинус изменяет знак, что соответствует изменению фазы на p.

Выше отмечалось (см. рис.2.4), что в распространяющейся ЭМВ колебан электрического и магнитного полей находятся в фазе. В стоячей ЭМВ это уже не имеет места, и между колебаниями Е и Н существует разность фаз. Причина такого различия заключается в

r

изменении фазы колебаний при отражении ЭМВ от конца линии. Скорость распространения v

здесь находится узел тока, а значит, и узел магнитного поля.

Так как Н=0, то в отраженной волне магнитное поле может изменить знак и будет направлено противоположно полю падающей волны, т.е. Н изменяет фазу на p.

При замыкании линии на конце проводником напряжение здесь всегда равно нул (рис.2.5,б). Значит, на конце линии расположится узел напряжения и напряженностиЕ. Амплитуда тока в проводящем мостике будет максимальной, на конце линии образуется пучность тока, а, следовательно, и пучность магнитного поля, поэтому Н в отраженной ЭМВ

не может изменить свой знак, а Е изменяет фазу на p.

Таким образом, в стоячей ЭМВ пучности и узлы электрического и магнитного полей сдвинуты. Узлы электрического поля совпадают с пучностями магнитного поля и наоборот.

электрического поля (напряжения), расстояние между которыми кратно l/2. Поэтому в линии возможны только такие стоячие волны, которые удовлетворяют этим условиям на границах, т.е. длина линии должна удовлетворять соотношению (рис.2.7)

18

Ясно, что зависимости (2.18), (2.19) можно получить и тогда, когда оба конца линии замкнуты проводящим мостиком. При этом на концах линии(рис.2.8) будут находиться узлы электрического поля (напряжения) и пучности магнитного поля (тока).

Если же линия замкнута проводящим мостиком только на одном из концов(рис.2.9), то тогда на разомкнутом конце линии всегда находится пучность электрического (напряжения), а на замкнутомузел электрического поля(напряжения). В соответствии с этими граничными условиями длина волны l должна удовлетворять соотношению

Видно, что при замыкании одного из концов линии частота основного колебания(m=1) уменьшается вдвое. Описанные выше колебания являются собственными колебаниями линии. Они имеют дискретный спектр частот. Для возбуждения в линии одного из собственных колебаний генератор, питающий линию, должен иметь частоту, совпадающую с одной из собственных частот линии nm.

2.6. Свободные электромагнитные волны

При раздвижении свободных концов замкнутой двухпроводной линии в пределе получим отрезок прямой проволоки, который называется открытым вибратором(рис. 2.10) и используется для возбуждения свободных ЭМВ.

Как показано ранее, длина возможных на этом отрезке стоячих ЭМВ определяется длинойl самого вибратора и условиями на его концах. Если оба конца вибратора граничат с диэлектриком, то на них должны быть расположены узлы тока(магнитного поля) и пучности заряда (электрического поля). Возможные длины волн определяются условием(2.18), а частоты (2.19).

Основному колебанию вибратора соответствует стоячая волна m=1,с распределение амплитуды напряжения в ней показано на рис. 2.7.

19