§ 8. Визначення динамічних реакцій

Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі. На тіло діє система зовнішніх сил ,,…,, головний вектор яких та головний момент сил.

Введемо дві системи координати з початком у довільній точці :нерухому,вісь якої співпадає з віссю обертання, тарухому, яка жорстко зв’язана з твердим тілом, вісьякої теж співпадає з віссю обертання (рис. 8.1). Перевага рухомої системиполягає в тому, що по відношенню до цих осей координати центра маси тіла та його моменти інерції будуть величинами сталими.

Положення тіла буде визначатися кутомміж площинаминерухомої тарухомої систем координат. Рівняння, які визначають закон обертання твердого тіла та реакції підшипників, які утримують вісь у точкахтамають вигляд:

,

,

0 = , (8.1)

,

,

,

де ,,та,– проекції реакцій в точкахтана вісірухомоїсистеми координат (рис. 8.1),

імпульс твердого тіла (– маса тіла,– швидкість руху центра маси,радіус–вектор якої ),

–момент імпульсу тіла,

, – координати підшипників.

Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, а вісь спрямована по осі обертання, то

, (8.2)

тоді

,,= 0, (8.3)

,,, (8.4)

де – компоненти тензора інерції тіла,,– координати центра маси тіла в рухомій системі координат. Тоді система рівнянь (8.1) приймає вигляд:

,

,

0 = , (8.5)

,

,

.

У останнє рівняння системи (8.5) не входять реакції і воно дозволяє визначити закон обертання тіла по заданому моментупри відповідних початкових умовах. Величини реакцій визначаємо з перших 5 рівнянь системи (8.5).

Як видно з системи рівнянь (8.5) реакції у опорах тавизначаються як активними силамита їх моментами, що прикладені до тіла, так і силами інерції та їх моментами, які записані у лівих частинах рівнянь. Тому кожну з проекцій подають у вигляді двох складових

,

.

Перші складові тавизначається лише активними силами і можуть бути визначені з рівнянь статики – так званістатичні складові, а другі складовіта– так званийдинамічний додаток реакцій, які зумовлені силами інерції та їх моментами і перетворюються на нуль, як тільки тіло перестає обертатися (коли= 0,= 0).

Отже, для визначення статичних реакції отримуємо наступну систему рівнянь:

= 0,

= 0,

= 0, (8.6)

= 0,

= 0,

а динамічні реакції визначаються з наступної системи рівнянь:

,

,

, (8.7)

.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте і запишіть теорему про зміну імпульсу механічної системи.

2. Сформулюйте і запишіть теорему про зміну моменту імпульсу механічної системи.

3. Дайте визначення моменту інерції тіла відносно осі. Сформулюйте і запишіть теорему Гюйгенса-Штейнера.

4. Що характеризують осьові та відцентрові моменти інерції?

5. За рахунок чого виникають динамічні реакції?

6. Як залежать величини динамічних реакцій від кутової швидкості обертання тіла?

7. Які методи застосовують для зменшення величини динамічних реакцій?

Методика розв’язання задач.

Розглянемо випадок, коли на закріпленому у нерухомих підшипниках таневагомому валу, знаходиться однорідне тонке махове колесо масоюта радіусомі точкова маса, яка приєднана до вала за допомогою жорсткого невагомого стрижня довжиною(рис. 8.2). Центр маси махового колеса лежить на вісі вала, площина махового колеса перпендикулярна осі, а розміри системи,,. Система обертається зі стану спокою під дією зовнішнього сталого моменту.

Нехтуючи масою та радіусомвала, знайти статичні та динамічні реакції у підшипниках.

1. Вводимо декартові системи координат: нерухому та рухому, яка жорстко зв’язана з точковою масою. Відносно осейкоординати центра маси тіла та його моменти інерції будуть величинами сталими.

Для спрощення розрахунків, розташуємо початок координат у одному із підшипників чи тіл, що знаходиться на осі обертання, а вісь спрямуємо вздовж вісі обертання. Тоді в рухомій системі координат маємо (рис. 8.2):

,.

2. Статичні реакції у підшипниках знаходимо з системи рівнянь (8.6), які в даному випадку, приймають вигляд:

(1)

3. Проекції динамічних реакцій ,та,на вісі рухомої системи координат, які зв’язані з маховим колесом, що обертається, знаходимо з системи рівнянь (8.7), які у даному випадку приймають вигляд

,

, (2)

,

.

3. Визначаємо координати ,,центра масисистеми в рухомій системи координат:

; ;.

де ,,– координати центра маси тіл, що входять до механічної системи у рухомій системі координат. В нашому випадку (рис. 8.2):

, ,

, .

4. Визначаємо компоненти тензора інерції махового колеса та матеріальної точки:

,= 0,

;;

5. Визначаємо сумарні компоненти тензора інерції системи:

,,.

6. Знаходимо кутове прискорення вала під дією сталого моменту сил

та кутову швидкість вала у заданий момент часу

,

де - початкова кутова швидкість обертання вала.

7. Розраховуємо динамічні реакції з системи рівнянь (2).

Приклад. Вал закріплений у нерухомих підшипниках та. На вал насаджене однорідне тонке махове колесо масою= 45 кг та радіусом = 0,2 м і, за допомогою жорсткого невагомого стрижня довжиною= 0,30м, до нього приєднана точкове тіло масою= 5 кг (рис. 8.3). Центр маси махового колеса лежить на осі вала, площина диска перпендикулярна осі, а розміри системи=0,3 м,= 0,5 м,= 0,2 м. Ця механічна система обертається зі стану спокою під дією сталого зовнішнього моменту= 27 Н·м.

Нехтуючи масою та радіусом вала, знайти реакції у підшипниках:

1. Статичні.

2. Динамічніреакції у момент часу= 4 с, якщо нехтувати силами тертя та опору повітря.

Визначення статичних реакцій. Введемо нерухому плоску систему координатз центром у точці,спрямувавши вісь вздовж осі обертання. Відкинемо в’язі у точкахтаі замінимо їх реакціямитау підшипниках (рис. 8.4), які знайдемо з системи рівнянь (1):

,

.

Розв’язуючи отриману систему рівнянь знаходимо:

= 171,5 Н,

= 318,5 Н.

Зауважимо, що у тих варіантах, коли точкова маса розташована не на вертикальній осі(рис. 8.3), то вона створює момент відносно осі, який у початковий момент часу компенсується відповідним зовнішнім моментом. Цей момент прикладений до диску у його площині та знаходиться з умови

,

де - плече вагивідносно осі.

Визначення динамічних реакцій. У випадку обертання системи виникають додатково динамічні реакції. Введемо рухому декартову систему координат, яка жорстко зв’язана з точковим тілом (рис. 8.5), а вісьспрямована по вісі обертання. В цьому випадку у точкахтавиникають по 2 реакції:,та,на вісіта, які обертаються разом з тілами системи. Величини реакцій знаходимо з системи рівнянь (2), яка у нашому випадку приймає вигляд:

,

,

,

,

де - маса системи;

- координати центра маси системи в рухомій системі ;

- проекції кутової швидкості та кутового прискорення на вісь ;

- відцентрові компоненти тензора інерції системив рухомій системі;

= – (a + b) , =с – координати підшипників тав рухомій системі.

Знайдемо масу та координати центру маси механічної системи в рухомій системі координат:

= 50 кг,

= 0,03 м;0;

= – 0,45 м.

Визначимо момент інерції однорідного тонкого махового колеса відносно осі обертання

= 0,9 кг·м².

У рухомій системі координати центру маси,та відцентровікомпоненти тензораінерції будуть незмінними, тоді знаходимо:

= 0,

= 0,

бо координати центра маси махового колеса = 0 та= 0.

Моменти інерції точкової маси відносно осейзнаходимо за формулами:

=0,45 кг·м²,

= 0 кг·м²,

= 0кг·м²,

оскільки координати центра маси точкового тіла 2 наступні ,= 0,= 0.

Знаходимо сумарні компоненти тензора інерціїсистеми:

= 0,9 + 0,45 = 1,35 кг·м²,

= 0 кг·м², = 0 кг·м².

Визначаємо кутове прискорення системи

= 20 рад/с²,

що дозволяє знайти кутову швидкість системи

(t) =(0) +,

і з врахуванням початкових умов дає (0) = 0

(t) =.

Отже, в заданий момент часу отримуємо

(4) = 20·4 = 80 рад/с.

Тоді для визначення динамічних реакцій отримуємо систему рівнянь при = –(a +b) = – 0,8 м та=с= 0,2 м:

=– 9600,

=30,

– 0,8+0,2=0,

– 0,8+0,2=0.

Розв’язок системи дає:

=– 1920Н,=6 Н;=– 7680Н,=24Н.

Зверніть увагу на те, що при невеликому зміщенні центра маси механічної системи від осі симетрії (обертання) – лише 3 см у порівнянні з радіусом махового колеса 20 см, проведені розрахунки показали, що динамічні реакції у точці Ау 6, а у точціВ– у 45 разів більші за статичні. Зрозуміло, що такі додаткові навантаження на підшипники приведуть до передчасного їх зношення.

Підкреслимо, що розрахунки усіх величин слід проводити в рухомій системі координат, при цьому розташування її початку може спростити розв’язання системи рівнянь для визначення динамічних реакцій, але не змінює результатів.