3. Змушені коливання

Для спрощеної теорії змушених бортових коливань судна будемо вважати, що на нього діють регулярні хвилі, які створюють зовнішній момент, що змінюється за гармонічним законом

, (25)

і зумовлює змушені коливання судна.

Будемо вважати, що ширина судна значно менша, ніж довжина хвилі. Тоді отримуємо диференціальне рівняння

, (26)

яке описує змушені бортові коливання судна у даній моделі.

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (26), як відомо з теорії диференціальних рівнянь, має вигляд

, (27)

де – загальний розв’язок однорідного рівняння (5), який нам відомий у вигляді (9)

,

та – будь-який частковий розв’язок неоднорідного рівняння (26), який знаходять у вигляді

. (28)

Величини таотримують після підстановки функції (28) та її похідних в рівняння (26), та певних алгебраїчних перетворень:

, (29)

. (30)

Однак з плином часу вплив першого доданку послаблюється і коливання судна будуть визначатися формулою (28). Отже, які б не були умови на початку дії зовнішньої сили, після деякого проміжку часу судно буде здійснювати усталені гармонічні коливання з частотою збудженнята амплітудою (29), яка залежить від.

Графік залежності називають амплітудно-резонансною кривою, яка починається з амплітуди статичного зміщення

= 0,159 радіан = 9,1 градусів. (31)

Залежність (для) немонотонна і має максимум при резонансній частоті

= 0,394 с^-1, (32)

який відповідає максимальна амплітуда коливань

= 0,501 рад = 28,7 градусів. (33)

Амплітудно-резонансна крива для нашого випадку приведена на рис. 7.4.

Задача сп.9. Дослідження вільних, згасаючих та змушених бортових коливань судна

Судно знаходиться на тихій воді в положенні стійкої рівноваги (остійно), його маса (т), радіус інерції відносно поздовжньої центральної осі(м) та метацентрична висота(м). Дослідити малі бортові коливання судна.

1. Записати диференціальне рівняння вільних незгасаючихколивань та розв’язати його для початкових умов(градуси),(градуси/с). Визначити періодта частоту, початкову фазута амплітудутаких коливань.

2. Записати диференціальне рівняння вільних згасаючихколивань якщо момент сил опору(Н∙м). Розв’язати його для тих самих початкових умов і визначити період, частоту, початкову фазута амплітудутаких коливань.

3. Записати диференціальне рівняння змушених бортовихколивань судна, якщо воно знаходиться під дією регулярного хвильового збудження момент сили якого змінюється за закономпри наявності моменту сили опору(Н∙м)

Знайти значення резонансної частоти , статичне зміщеннята амплітуду змушених коливань при резонансі.

Побудувати графіки вільних та згасаючих коливань протягом трьох періодів та амплітудно-резонансну криву від частотив інтервалі.

Необхідні дані наведені в таблиці СП.9.

Таблиця СП.9 – вихідні дані для задачі СП.9

№	Тип судна	(т)	, м	, м	, Н∙м/с	, градуси	, градус/с	, Н∙м
1	Контейн	20000	8,7	1,2	2,4∙108	-3	1,5	6,4∙107
2	Контейн	25000	9,4	1,1	2,8∙108	3	-1,8	6,5∙107
3	Контейн	30000	9,9	1	2,9∙108	-3	-2,3	5,6∙107
4	Балкер	20000	8	1,3	1,9∙108	-4	3,1	4,2∙107
5	Балкер	25000	9	1,5	2,5∙108	2	3,2	6,0∙107
6	Балкер	30000	9,5	1,4	3,2∙108	2	-3	7,9∙107
7	Балкер	35000	10	1,4	4,2∙108	-3	-3,1	1,2∙108
8	Балкер	40000	10,5	1,4	4,2∙108	-4	2,1	1,1∙108
9	Газовоз	70000	11,5	1,9	1,1∙109	3	2,5	3,2∙108
10	Газовоз	80000	12,1	1,8	1,2∙109	2	-3,2	2,2∙108
11	Газовоз	90000	12,5	1,8	1,5∙109	-2	-3,5	2,9∙108
12	Ро-ро	40000	10,9	1,2	4,8∙108	-4	2,5	7,9∙107
13	Ро-ро	50000	11,8	1,2	5,8∙108	3	2,1	9,2∙107
14	Ро-ро	60000	12,5	1,2	6,8∙108	5	-1,9	1,2∙108
15	Танкер	10000	6	1,8	5,8∙107	-5	-2,5	2,5∙107
16	Танкер	20000	7,6	2,6	2,5∙108	-4	2,5	1,2∙108
17	Контейн	22000	9	1,1	1,9∙108	3	2,1	4,9∙107
18	Контейн	24000	9,2	1	2,3∙108	2	-3,1	5,8∙107
19	Контейн	28000	9,7	1	3,2∙108	-2	-1,8	5,9∙107
20	Балкер	22000	8	1,5	2,3∙108	-4	2,2	6,8∙107
21	Балкер	24000	9	1,1	2,2∙108	3	2,4	6,5∙107
22	Балкер	32000	9,5	1,4	3,5∙108	4	-1,4	7,9∙107
23	Балкер	36000	10	1,2	4,8∙108	-5	-1,8	1,1∙108
24	Балкер	38000	10,5	1,7	6,4∙108	-2	2,7	1,4∙108
25	Газовоз	75000	11,8	1,9	1,5∙109	2	2,6	2,8∙108
26	Газовоз	85000	12,3	1,9	1,2∙109	2	-2,4	3,4∙108
27	Газовоз	100000	13	1,9	1,9∙109	-5	-1,2	3,1∙108
28	Ро-ро	44000	11,3	1,2	5,2∙108	-3	2,4	9,6∙107
29	Ро-ро	48000	11,6	1,4	6,8∙108	3	2,6	1,5∙108
30	Ро-ро	56000	12,2	1	8,8∙108	-2	-1,5	1,2∙108