1. Вільні незгасаючі коливання

Такі коливання відбуваються, коли на судно діє лише відновлюючий момент. Для отримання рівняння бортових коливань необхідно врахувати крім моменту інерції судна відносно поздовжньої центральної осі, ще і момент інерціїмаси води, яка „прихоплюється” зануреною частиною корпусу судна при його русі, відносно тієї ж осі. Тому диференціальне рівняння таких коливань має вигляд

, (1)

де – – метацентрична висота судна.

Це рівняння потрібно доповнити початковими умовами:

= 0:та, (2)

Знаючи масу судна та його радіус інерціївідносно поздовжньої осі, розрахуємо момент інерції судна

. (3)

Величина залежить від форми корпуса судна. В нашій моделі приймемо її рівною 0,1, тому для спрощення формул, введемо

(4)

– ефективний момент інерції судна. Тоді рівняння (1) з врахуванням (4) в проекції на вісь , яку спрямуємо за напрямом руху судна, приймає вигляд

(5)

де

(6)

частота вільних незгасаючих бортових коливань судна, або їх період

=, (7)

Підставляючи дані задачі, знаходимо:

= 0,405 рад/с,

= 15,5 с.

Частота та періодколивань на тихій воді називаютьсявласноючастотоютавласнимперіодомколивань судна.

Зауважимо, аналіз формул (7) вказує, що для забезпечення плавності коливань необхідно збільшити період . Для цього:

• намагаються розташувати вантажі по висоті таким чином, щоб досягти можливо меншої метацентричної висоти , але при цьому задовольнити умовам остійності;

• розносять вантажі по ширині, збільшуючи момент інерції судна відносно поздовжньої осі (збільшуючи )

Характеристичне рівняння для однорідного диференціального рівняння (5) зі сталими коефіцієнтами має вигляд

= 0. (8)

Корені цього рівняння чисто уявні (,), тому загальний розв’язок рівняння (5) набуває вигляду

,

в якому та– сталі інтегрування. Це рівняння, за допомогою перетворень Ейлера зводиться до однієї гармонічної функції

, (9)

Сталі інтегрування амплітуду та початкову фазузнаходять з початкових умов:

, (10)

. (11)

З формули (11) для початкової фази отримуємо

,

(= 0; 1).

Значення необхідно взяти таким, щоб початкові умови виконувались. Оскільки>0, а<0, то початкові умови задовольняються при= 1.

З врахуванням умов задачі, отримуємо:

= 0,124 радіан = 7,1 градуса,

– 0,47, а тому= – 0,44 + 3,14 = 2,70 радіан.

Отже, рівняння незгасаючих бортових коливань судна має вигляд

= 7,1(0,405∙+ 2,70) градусів.

ійого графік зображений на рис. 7.2.

2. Вільні згасаючі коливання

Вони виникають, коли якщо крім моменту, який відновлює рівновагу, враховуємо момент сил опору, який при малих амплітудах коливань пропорційний кутовій швидкості

. (12)

Тоді отримаємо наступне диференціальне рівняння бортових коливань

, (13)

яке перепишемо у вигляді

, (14)

в якому

. (15)

Зауважимо, що розмірності таоднакові (с^–1), що дозволяє порівнювати їх між собою. Диференціальному рівнянню (14) відповідає характеристичне рівняння

, (16)

корені якого мають вигляд

. (17)

У випадку отримуємо комплексні корені

, (18)

де

, (19)

тому загальний розв’язок рівняння (14) буде мати вигляд

,

де та– сталі інтегрування. За допомогою перетворень Ейлера можна звести розв’язок рівняння до вигляду

. (20)

Початкові амплітуда та фазавизначаються початковими умовами, і ми знаходимо їх аналогічно тому, як для вільних коливань:

, (21)

,= 0; 1. (22)

З врахуванням даних задачі, знаходимо: = 0,065 с^-1,= 0,399 рад/с,= 15,7 с,= 0,117 радіан = 6,7º,= 2,68 радіан.

Отже, рівняння згасаючих бортових коливань судна має вигляд

= 6,7(-0,065)(0,399+ 2,68). (23)

і його графік зображений на рис. 7.3.

Коливання, що відбуваються за законом (23), називаються згасаючими, бо присутність коефіцієнта при амплітуді коливань зумовлює поступове зменшення (див. рис. 7.3) максимального відхилення тіла від положення рівноваги з плином часу і до зникнення коливань. Отже бортові коливання судна можна розглядати як гармонічне коливання з круговою частотоюта амплітудою, яка змінюється за законом

, (24)

коефіцієнт називається коефіцієнтом демпфірування коливань.

Таким чином, після кожного періоду часу, послідовні відхилення від положення рівноваги створюють геометричну прогресію зі знаменником= 0,397, який називається декрементом згасання.