§ 7. Бортові коливання судна

Умова плавання судна на тихій воді зводиться до рівності сили тяжіння та сили Архімеда

. (7.1)

Сила Архімеда виникає за рахунок тиску води на усю підводну поверхню судна. Рівнодійна цих сил напрямлена вертикально вверх і дорівнює

, (7.2)

де- об’єм зануреної частини судна,- густина води, відповідно. Тобто сила Архімеда визначається вагою рідини, яку витісняє судно, тому в суднобудуванні її називають водотоннажністю. Точкаприкладання цієї сили співпадає з центром витісненої рідини і називаєтьсяцентром величини.

Крім того, для рівноваги двох сил танеобхідно, щоб вони не створювали моменту, тобто діяли по одній прямій в різні боки. Тобто центр вагита центр величинизануреного об’єму мають лежати на одній вертикалі. Тоді вертикальна лінія, що проходить через точкитамає бути перпендикулярною до площини ватерлінії ВЛ. Зауважимо, що точкалежить вище точки.

Розглянемо бортові коливання судна, як коливання фізичного маятника. Оскільки при нахилах судна на борти його вага не змінюється, то не змінюється як його положення центра тяжіння, так і загальний об’єм підводної частини судна. Отже, судно здійснюєрівно об’ємні нахили. Тому величина і напрямок сили Архімеда не змінюється, але центр прикладання цієї сили (центр величини)переміщується в той бік, куди нахиляється судно по дузі. Центр кривизни дуги, вздовж якої переміщується центр величини в результаті нахилу судна (точкана рис. 7.1), називаєтьсяметацентром, а радіус її кривизни –метацентричним радіусом.

В результаті нахилу судна положення рівноваги може бути стійким або нестійким. Якщо сили тяжіння та Архімеда створюють момент, який повертає судно до положення рівноваги, то судно вважається остійним. Мірою остійності судна є метацентрична висота

. (7.3)

Якщо метацентр розташований над центром ваги (рис. 7.1), тобто (тобто точка, лежить вище центра тяжіння тіла), то положення судна буде стійким.

При малих бортових нахилах, якщо >0, сили тяжіння та сили Архімеда створюють момент, який відновлює рівновагу судна

.

Надалі обмежимося розглядом лише коливань малої амплітуди, коли , тоді

. (7.4)

Методика розв’язання задачі

1. Записуємо диференціальне рівняння вільних незгасаючих бортових коливань судна.

2. Складаємо характеристичне рівняння та знаходимо його розв’язок.

3. Скориставшись перетворенням Ейлера визначаємо гармонічну функцію.

4. Знаходимо сталі інтегрування, користуючись початковими умовами.

5. Для вільних згасаючих коливань повторюємо пункти 1-4.

Приклад. Судно знаходиться на тихій воді в положенні стійкої рівноваги, його маса= 30000 т, радіус інерції відносно поздовжньої центральної осі = 7 м та метацентрична висота= 0,9 м . Дослідити малі бортові коливання судна.

1. Записати диференціальне рівняння вільних незгасаючих коливань та розв’язати його для початкових умов =3 градуси, =– 2,6 градусів/с. Визначити періодта частоту, початкову фазута амплітудутаких коливань.

2. Записати диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань якщо момент сил опору = 2,1∙10⁸(Н∙м) пропорціональний першому ступеню кутової швидкості нахилу судна. Розв’язати його для тих самих початкових умов, визначити періодта частоту, початкову фазута амплітудутаких коливань.

3. Записати диференціальне рівняння змушених коливань бортових коливань судна, якщо воно знаходиться під дією регулярного хвильового збудження момент сили якого змінюється за законом = 4,2∙10⁷(Н∙м) при наявності момент сил опору= 2,1∙10⁸(Н∙м).

Знайти значення резонансної частоти , статичне зміщеннята амплітуду змушених коливань при резонансі. Побудувати амплітудно-резонансну криву для амплітудив інтервалі (0;).