§ 2. Кінематика найпростіших рухів твердого тіла

В кінематиці твердого тіла розрізняють наступні види руху: поступальний, обертальний навколо нерухомої осі та обертальний навколо нерухомої точки (сферичний), плоскопаралельний (плоский) та вільний.До найпростіших рухівтвердого тіла відносятьсяпоступальний і обертальний, бо всі інші рухи можна подати певним способом як сукупність цих двох.

Поступальнимназивається такий рух твердого тіла, при якомудовільна пряма, проведена в тілі, що рухається,залишається паралельною своєму початковому положенню. Траєкторії поступального руху твердого тіла можуть бути різної форми. Так, наприклад, корпус паровоза на прямолінійній ділянці рухається поступально, і траєкторіями його точок є прямі лінії. Траєкторії же точок спарника коліс АВ(рис. 2.1) по відношенню до корпуса паровоза є колами, а по відношенню до землі – циклоїди. При цьому спарникпри коченні коліс рухається поступально (рис. 2.1), оскільки будь-яка пряма проведена в спарнику залишається в процесі його руху напрямленою паралельно сама собі. Отжепри поступальному русі тілатраєкторії його точок можуть бутияк прямолінійні, так і криволінійні, але всі точки тіла описують однакові за формою (конгруентні) траєкторії.

Нехай тіло здійснюєпоступальний рухвідносно системи відліку(рис. 2.2). Щоб встановити закон поступального руху твердого тіла, візьмемо на ньому довільні точкиАіВ положення яких визначаються радіус-векторамитавідповідно. Зв’яжемо з точкоюАсистему відліку(рис. 2.2).Проведемо векторз точкив точку. Під час руху тіла для кожного моменту часу буде справедлива така векторна рівність

. (2.1)

Визначимо швидкості та прискорення точок і. За означенням поступального руху твердого тіла, вектормає постійну величину та напрям, отже, тому

. (2.2)

Тоді диференціювання рівності (2.1) дає

,

отже

(2.3)

– вектори швидкості точок ірівні між собою.

Прискорення точок іодержимо після диференціювання за часом формули (2.3), що дає:, тобто,

(2.4)

– вектори прискорення точок ітеж рівні між собою.

Оскільки точкиівибрані довільно, то в кожний момент часу всі точки твердого тіла, яке рухається поступально, мають рівні вектори швидкості і рівні вектори прискорення. Отже поступальний рух твердого тіла повністю визначається рухом будь-якої однієї його точки, наприклад, яку називаютьполюсом.

Обертальнимрухом твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий його рух, при якомувсі його точки рухаються по концентричним колам, центри яких лежать на нерухомій прямій. Ця пряма називаєтьсявіссю обертання. У випадку обертального руху навколо нерухомої осі всі точки, крім тих, що лежать на осі обертання, здійснюють рух в площинах, перпендикулярних до осі обертання.

Для визначення положення тіла направимо вісь вздовж осі обертання(вгору) – рис. 2.3. Зв’яжемо з довільною точкоюМтвердого тіла та віссю обертання площинуі зафіксуємо її положення в нерухомій системі координат. Через деякий час тверде тіло повернеться на куті площина займе положення(рис. 2.3). Тоді положення тіла буде однозначно заданим, коли відомий закон зміни кута

(2.5)

між зафіксованою площиною та рухомою площиною. Цей кут називаєтьсякутом поворотутіла.

Головними кінематичними характеристиками обертального руху тіла є кутова швидкість (яка характеризує швидкість зміни кута повороту з плином часу) та кутове прискорення (яке характеризує зміну кутової швидкості з плином часу).

Вектором кутової швидкостітвердого тіла, яке здійснює обертання навколо фіксованої осі,називається вектор, модуль якого визначається похідною за часом від кута повороту

. (2.6)

Вектор кутової швидкості лежить на осі обертання та направлений вздовж осі обертання у той бік (рис. 2.3), звідки обертання відбувається проти руху стрілки годинника. Таким чином

, (2.7)

де - орт осі, з якою співпадає вісь обертання (рис. 2.3). З формули (2.7) видно, що напрям вектораспівпадає з напрямом вектора, якщо, та напрям векторапротилежний напряму вектора, якщо.

Оскільки одиницею вимірювання кута є радіан, то одиницею вимірювання кутової швидкості є радіан за секунду.

Вектором кутового прискорення називається вектор, який дорівнює похідній за часом від вектора кутової швидкості

. (2.8)

Цей вектор також лежить на осі обертання при обертанні тіла навколо фіксованої осі. Друга похідна за часом від кута повороту визначає алгебраїчне значення кутового прискорення

. (2.9)

Одиницею вимірювання кутового прискорення є радіан за секунду в квадраті.

Якщо вісь обертання зафіксована, то напрям співпадає з напрямомколи модуль кутової швидкостізростає (обертання тілаприскорене). Напрямбуде протилежним напряму, коли модуль кутової швидкостізменшується (обертання тіла будесповільненим). З цих обставин випливає наступне просте правило: якщо алгебраїчний добуток> 0, то модуль кутової швидкості збільшується – обертання твердого тіла прискорене, якщо< 0 –сповільнене.

Ще раз підкреслимо, що вектори кутової швидкості та кутового прискорення завжди розташовані на осі обертання.