Методика розв’язання задач

А. Якщо рух точки заданий натуральним способом: задана траєкторія, початок відліку та закон руху, а потрібно знайти кінематичні характеристики руху точки, то проводимо наступні дії:

1. Знаходимо положення точки у заданий момент часу і позначаємо його на траєкторії.

2. Взявши першу та другу похідні від закону руху, визначаємо швидкість та тангенціальне прискорення:

,,

та обчислюємо їх значення у заданий момент часу.

3. Знаходимо нормальне прискорення

.

4. Визначаємо модуль повного прискорення.

.

Б. Якщо рух точки в площині заданий параметрично,, а потрібно знайти кінематичні характеристики точки, то проводимо наступні дії:

1. Знаходимо рівняння траєкторії точки, виключаючи час з рівнянь руху, зображаємо траєкторію та знаходимо положення точки у заданий момент часу.

2. Визначаємо компоненти швидкості та її модуль

,,.

3. Обираємо зручний масштаб, креслимо траєкторію, помічаємо положення точки та будуємо відповідні вектори.

4. Визначаємо компоненти прискорення

,,

та знаходимо модуль прискорення

,

та у зручному масштабі будуємо відповідні вектори

5. Знаходимо тангенціальне прискорення

.

6. Знаходимо модуль нормального прискорення

та будуємо відповідні вектори.

7. Визначаємо радіус кривизни траєкторії

.

В. Якщо потрібно встановити закон руху точкиза відомим виразом для прискорення, то треба двічі інтегрувати (1.14) та знайти сталі інтегрування з початкових умов. Детально ця задача розглядається у частині „Динаміка”.

Приклади розв’язання задач

Приклад А. Рух точки заданий натуральним способом.Знайти положення точки, її швидкість та прискорення в заданий момент часу= 1 с, якщо точка рухається по колу радіуса= 12 см, за законом (см).Всі вектори зобразити на рисунку.

Розв’язання. Накреслимо коло довільного радіуса та помітимо його центр літерою. Вкажемо початкове положення - точкута додатний напрям руху (рис. 1.9).

Визначимо положення точки на момент часу = 1 с.Для цього підставимо цей час в рівняння руху та отримаємо

= 18,8 см.

Знайдемо положення точки на траєкторії, скориставшись визначенням радіанної міри кута

= 90°,

що вказує положення точки на траєкторії (рис. 1.9)

Взявши першу похідну від закону руху за часом, знаходимо закон зміни швидкості точки

,

і на момент часу = 1 с отримаємо

3,14∙4 = 12,6 см/с.

Додатне значення швидкості визначає напрям руху точки в бік зростання дугової координати (в нашому випадку – проти руху стрілки годинника), що зображено на рис. 1.9.

Похідна за часом від модуля швидкості дозволяє знайти тангенціальне прискорення

,

що на момент часу = 1 с дає

– 18,8 см/с².

Різні знаки у швидкості та тангенціального прискорення вказують на те, що їх напрями протилежні, отож, точка рухається сповільнено.

Точка рухається по колу, тому радіус кривизни траєкторії є радіус кола. Величину нормального прискорення, яке спрямоване до центру кола, знаходимо за формулою

= 12,6²/ 12 = 13,2 см/с².

Повне прискорення є векторною сумою взаємно перпендикулярних складовихта, тому модуль повного прискорення знайдемо скориставшись формулою Піфагора

= 22,9 см/с².

Відповідь:= 18,8 см,= 90°,12,6 см/с,18,8 см/с²,

13,2 см/с²,22,9 см/с².

Приклади Б.Рух точки заданий параметричним (координатним)способом.

Б.1) Рух точки задано в параметричному вигляді многочленами

, (1)

, (2)

де - в сантиметрах,- в секундах. Визначити рівняння траєкторії руху точки і для моменту часу= 1 c знайти: 1) положення точки на траєкторії, 2) її швидкість, 3) тангенціальне та нормальне прискорення, 4) модуль повного прискорення, 5) радіус кривизни траєкторії в цьому положенні точки. Траєкторію та всі вектори вказати на рисунку у зручному масштабі.

Розв’язання. Щоб отримати рівняння траєкторії, потрібно виключити час з рівнянь руху точки в параметричному виді. З рівняння (1) знаходимо . Підставляючи цей вираз в рівняння (2), отримуємо рівняння траєкторії

.

Отже траєкторія руху точки - парабола. Оскільки ≥ 0, то це буде лише її права гілка параболи, яка починається у точці (0, –1), що зображено на рис. 1.10.

Знайдемо положення рухомої точки .

При = 1 c з рівнянь (1) і (2) отримуємо:

2 см,3 см.

Компоненти вектора швидкості знайдемо згідно з (1.9) як перші похідні від таза часом:

2, (3)

. (4)

Отже, компонент швидкості вздовж осі хє сталою величиною= 2 см/с, а для знаходження другого компонентапідставимо = 1 с в вираз (4) і отримуємо= 8 см/с.

Модуль швидкості знайдемо згідно (1.10)

= = 8,25 см/с.

Після цього, будуємо траєкторію , та вказуємо положення точки в заданий момент часу. Далі узручному для наших даних масштабі(наприклад, 1 см = 1 см/с) будуємо вектори компонент швидкостей ,та їх векторну суму (рис. 1.10).

Зверніть увагу на те, що вектор лежить на дотичній до траєкторії.

Тепер визначимо компоненти прискорення (у відповідності з (1.15), взявши похідні від таза часом) і отримаємо:

, (5)

= 8,0 см/с². (6)

Таким чином у даному прикладікомпонент прискорення вздовж осі дорівнює нулю, а компонент прискорення вздовж осі сталий і додатний. Модуль повного прискорення знайдемо за формулою (1.16)

= 8,0 см/с².

Отож, в даному випадку , що ми і зображуємо в масштабі 1см = 2 см/с²в даному випадку(рис. 1.11).

Знаючи компоненти швидкості та прискорення, обчислимо тангенціальне та нормальне прискорення за формулами (1.23) та (1.24):

== 7,76 см/с²,

=1,95 см/с².

Останній результат дозволяє визначити радіус кривизни траєкторії за формулою (1.25)

= 68/1,95 = 34,8 см.

Щоб зобразити тангенціальну та нормальну складові прискорення як вектори, спроектуємо вектор прискорення на два взаємно перпендикулярні напрями: один з яких спрямований вздовж напряму швидкості (рис. 1.11), складова вздовж нього визначить вектор, а другий – до центру кривизнитраєкторії (в нашому випадку вліво, догори), складова вздовж нього визначить вектор .

Відповідь: точка рухається по гілці параболи і в момент часу= 1 c:(2, 3), =8,25 см/с, 8,0 см/с²,= 7,76 см/с², = 1,95 см/с², =34,8 см.

Б.2) Рівняння руху точки задано у параметричному вигляді через тригонометричні функції однакового аргументу:

, (1)

. (2)

Для того, щоб визначити рівняння траєкторії потрібно виключити час з цих рівнянь. Оскільки аргументи тригонометричних функцій однакові, то послідовно виконаємо наступні операції. Перепишемо рівняння (1) та (2) у вигляді:

,(3)

.(4)

Піднесемо праву та ліву частину рівнянь (3) та (4) до другого ступеня, складемо праві та ліві частини і отримаємо

. (5)

Ми отримали рівняння еліпса з півосями 5 та 3 з центром у точці (2, -1).

Всі кінематичні характеристики знайдемо тим самим шляхом, яким користувалися у попередньому прикладі:

=6,33 см,= 0,50 см,

,

.

Отже, для = 1 c :

= 2,62 см/с,

= –2,72 см/с,

см/с.

Відповідні вектори зображені на рис. 1.12 в масштабі 1 см = 1 см/с.

Далі визначимо компоненти прискорення:

,

.

З останніх рівнянь знайдемо компоненти прискорення та його модуль в завданий момент часу = 1 с:

= – 4,75 см/с²,

= – 1,65 см/с²,

= 5,03 см/с².

Щоб зобразити складові прискорення , та повне прискорення як вектори, оберемо зручний масштаб (1 см = 1 см/с²в даному випадку). зобразимота з урахуванням їх напрямів та довжин (рис. 1.13) та побудуємо їх векторну суму .

Тангенціальне, нормальне прискорення і радіус кривизни траєкторії руху точки , як і у попередньому прикладі, визначимо за формулами (1.23) – (1.25):

= – 2,11 см/с².

=4,56 см/с²,

14,28/4,56 = 3,13 см.

Щоб зобразити тангенціальну та нормальну складові прискорення як вектори, спроектуємо вектор прискорення на два взаємно перпендикулярні напрями: один з яких спрямований вздовж напряму швидкості (рис. 1.12, 1.13), складова вздовж нього визначить вектор, а другий – до центру кривизнитраєкторії (в нашому випадку вниз ліворуч), складова вздовж нього визначить вектор .

Від’ємне значення означає, що рух точки сповільнений, а тому тангенціальне прискореннянапрямлене проти вектора швидкості (порівняйте напрями зазначених векторів на рис. 1.12 та 1.13).

Відповідь:траєкторія руху точки – еліпс, приc:(6,33; 0,5),2,62 см/с, –2,72 см/с,3,78 см/с,–2,11 см/с², 4,56 см/с², 5,03 см/с²,3,13 см.

Б.3) Рух точки задано в параметричному вигляді рівняннями тригонометричними функціями кратних аргументів:

, (1)

, (2)

де - в сантиметрах,- в секундах. Визначити рівняння траєкторії руху точки і для моменту часу= 1 c знайти: 1) положення точки на траєкторії, 2) її швидкість, 3) тангенціальне та нормальне прискорення, 4) модуль повного прискорення, 5) радіус кривизни траєкторії в цьому положенні точки. Траєкторію та всі вектори вказати на рисунку у зручному масштабі.

Розв’язання. Щоб отримати рівняння траєкторії, потрібно виключити час з рівнянь руху точки в параметричному виді. У нашому випадку аргументи тригонометричних функцій кратні двом, тому, за формулою, перепишемо перше рівняння у вигляді

Скористаємося другим рівнянням і визначимо рівняння траєкторії

.

Отже траєкторія руху точки це частина параболи яка обмежена по осі в інтервалі [-4,4] та по осів інтервалі [-5,5]. Траєкторія зображена на рис. 1.14.

Знайдемо положення рухомої точки . При = 1 c з рівнянь (1) і (2) отримуємо:

= 2 см,= 2,5 см.

Компоненти вектора швидкості знайдемо як перші похідні від таза часом

, (3)

, (4)

при = 1 с:

см/с,см/с.

Модуль швидкості знайдемо за формулою

см/с;

Вектори швидкостей вказані на рис. 1.14 в масштабі 1 см = 1 см/с.

Тепер визначимо компоненти прискорення, взявши похідні від таза часом і отримаємо:

,

,

при = 1 с:

см/с²,

см/с².

Модуль повного прискорення знайдемо за формулою

2,29 см/с².

Щоб зобразити складові прискорення , та повне прискорення як вектори, оберемо зручний масштаб (1 см = 1 см/с²в даному випадку). Зобразимота з урахуванням їх напрямів та величин (рис. 1.14) та побудуємо їх векторну суму .

Знаючи компоненти швидкості та прискорення, обчислимо тангенціальне та нормальне прискорення за формулами:

= 1,49 см/с²,

см/с².

Останній результат дозволяє визначити радіус кривизни траєкторії

см.

Щоб знайти тангенціальну та нормальну складові прискорення як вектори, потрібно спроектувати вектор прискорення на два взаємно перпендикулярні напрями, один з яких спрямований вздовж напряму швидкості (рис. 1.14) складова вздовж нього визначить вектор, а другий – до центру кривизнитраєкторії, складова вздовж нього визначить вектор .

Відповідь:точка рухається по гілці параболи і при1 с:(2 ; 2,5),= 4,27 см/с,2,29 см/с²,= 1,49 см/с²,= 1,74 см/с²,= 10,48 см.