Розділ іі. Кінематика

Кінематика вивчає переміщення тіл в просторі з плином часу без з’ясування причин, які викликають рух. В кінематиці рух тіл вивчається з чисто геометричної точки зору. Якщо в задачі кінематики можна знехтувати розмірами та формою тіла, то тіло замінюють точкою.Траєкторієюназивається лінія, яку описує точка в процесі руху. До основних кінематичних характеристик відносяться траєкторія, координати (положення), швидкість та прискорення точки і кутова швидкість та кутове прискорення твердого тіла.

Законом руху називається функціональна залежність положення тіла (точки) від часу.

Основні задачі кінематики полягають в тому, щоб:

- знаючи закон руху точки чи тіла відносно обраної системи відліку, встановити основні кінематичні характеристики руху;

- за відомими кінематичними характеристиками встановити закон руху.

§ 1. Способи описання руху точки. Швидкість та прискорення точки

Закон руху точки може бути заданий різними способами:

1)натуральний- цим способом зручно користуватись коли відома траєкторія руху точки. Для визначення положення рухомої точкив довільний момент часупотрібно знати (ввести) початок відліку (точку– рис. 1.1) та визначити додатній напрям відліку дугової координати (довжини відрізку траєкторії)і закон руху

, (1.1)

де може приймати як додатне, так і від’ємне значення.

2) векторний- базується на тому, що положення точки в просторі визначається радіус-вектором, проведеним з деякого нерухомого центрадо даної точки(рис. 1.2). Під час руху точки її радіус-векторзмінює свій модуль і напрям, тобто є функцією часу

. (1.2)

3) координатний - полягає в тому, що положення точки задається набором координат. При розгляді руху в прямокутній декартовій системі координат вказаний спосіб зводиться до задавання трьох координат,,точкияк відомих функцій часу:

,,. (1.3)

Зв’язок векторного метода з координатним наступний

.

В ряді випадків доцільно користуватися координатами циліндричними (рис. 1.3, а):

,,. (1.4)

або сферичними (рис. 1.3, б):

,,. (1.5)

Перехід від декартової координат до циліндричних, сферичних і навпаки описуються формулами:

а) для циліндричної системи координат (рис. 1.3 а):

,,;

,,.

б) для сферичної системи координат (рис. 1.3 б)

,,;

, , .

Внавігації, в основному, користуються циліндричною системою координат на площині (полярною), але дещо зміненою. Замість азимута(рис 1.3, а) використовують курс, який вимірюють від „норду” (напряму на північ) і відлік кута ведуть за напрямом руху стрілки годинника (рис. 1.4). Якщо вісьсумістити з „нордом”, а вісьнаправити горизонтально, то зв’язок між координатами декартової та «навігаційною» систем наступний:

,. (1.6)

Вектор швидкості точки

Швидкість точки характеризує зміну положення точки з плином часу. Нехай в момент часуточка займала положення(рис. 1.5), а в наступний моментзнаходилась в точці.Миттєва швидкість точкив момент часувизначається першою похідною від радіус-вектора за часом

. (1.7)

Вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у відповідній точці вбік руху (рис. 1.5).

Якщо рівняння руху точки задано в декартових координатах, то

. (1.8)

Отже, алгебраїчні проекції вектора швидкості на кожну з осей (рис. 1.6) дорівнюють похідним за часом від відповідної координати точки

,,. (1.9)

Ці алгебраїчні величини однозначно вказують напрям руху точки відносно відповідних осей (вздовж чи проти осі). Модуль вектора швидкості обчислюють за формулою

. (1.10)

Визначимо швидкість руху точки, вважаючи, що рух задано натуральним способом(рис. 1.7). Оскільки дугова координата є функцією часу, то радіус-векторбуде складною функцією часу. Тоді

, (1.11)

де

=(1.12)

-алгебраїчне значення миттєвої швидкості,

, (1.13)

- одиничний вектор (орт), який направлений по дотичній до кривої в сторону зростання дугової координати (рис. 1.7, а, б) і не залежить від напряму руху точки.

Якщо , то точка рухається в напрямі зростання дугової координати і напрям швидкостіспівпадає з напрямом орта(рис. 1.7, а). Приточка рухається в напрямі зменшення дугової координати і вектор швидкостіпротилежний до напряму орта(рис. 1.7, б). Таким чином, знак алгебраїчного значення швидкості (=) однозначно вказує напрям руху точки вздовж траєкторії.

У випадку сталої (за напрямом та модулем) швидкості, після інтегрування рівняння (1.7) отримуємо закон руху точки у наступному вигляді

,

де – положення точки в момент часу= 0 (початок відліку часу).