2. Метод відносного руху суден

Розв’яжемо задачу розглядаючи відносний рух суден. Абсолютна швидкість будь-якої точки(відносно нерухомої системи відліку) при складному русі визначається формулою

, (16)

де – відносна швидкість точкив рухомій системі та– переносна швидкість точки за рахунок руху системи. Тоді для швидкості відносного руху точкиотримуємо

. (17)

Введемо рухому систему відліку , початок якої сумістимо з судном. У наступні моменти часу системабуде рухатися зі швидкістюпо траєкторії(рис. 4.1) абсолютного руху судна . При цьому декартові вісі абсолютноїта рухомоїсистем будуть залишатися паралельними (та). Тоді швидкість точкибуде відігравати роль переносної швидкості

. (18)

Отже, в системі суднобуде залишатися нерухомим, а суднобуде рухатися з відносною швидкістю, яку знаходимо з формули (17) з урахуванням (18)

. (19)

Графічний метод.

У масштабі 1 см = 1 миля вказуємо початкове положення суден А іВ. У масштабі 1 см = 2 вузла креслимо вектори абсолютних швидкостей судента(рис. 4.3). Щоб графічно побудувати вектор відносної швидкостітреба згідно (19) до векторадодати вектор () .

Траєкторія руху судна Ввідносно нерухомого суднаАлежить на векторіі визначаєлінію відносного руху (рис. 4.3). Положення цієї лінії свідчить про те, що в нашому випадку судноВпройде перед судном суднаА(по носу).

Для того, щоб знайти найкоротшу відстань між суднами, треба з точки Аопустити перпендикуляр на лінію відносного руху– так ми отримуємо точкуС. Вимірюємо мінімальну відстань між суднамиd_кр= = 2,1 милі.

Щоб визначити час розходження, потрібно відстань (вимірювання дає≈ 9,1 миль) поділити на швидкість відносного руху. Вимірюємо довжину вектората знаходимо модуль відносної швидкості= 19,5 вузлів. Отже = 9,1/19,5 ≈ 0,47 годин28 хв.

Покажемо, що по схемі відносного руху можна визначити відстань між суднами у довільний момент часу. Для цього визначимо переміщення судна Ввідносно суднаАчерез кожні 0,1 год:1,95 милі,3,9 милі,5,85 милі так далі. З точкиВвідкладаємо отримані значення і знайдемо відстань між суднами у ці моменти часу (рис. 4.4) та пеленг суднаВ.

= 7,5 милі, = 58°;= 5,7 милі,= 54°;= 3,92 милі,

= 43°; = 2,5 милі,= 20°;= 2,10 милі,= 330°.

Ці результати у методі відносного руху співпадають з отриманими у методі абсолютного руху. Точність співпадіння визначається ретельністю виконання графічних методів розв’язку за задачі (дивись рис. 4.1 та 4.4).

Аналітичний метод.Запишемо вирази для векторів швидкостей суден. Оскільки декартові вісі рухомої та абсолютної систем лишаються паралельними, то:

=, (20)

=. (21)

Тоді для вектора відносної швидкості отримуємо

+ (22)

Зауважимо, що отримані раніше вирази (9) та (10) для величин тавизначають компоненти відносної швидкостіта, відповідно. Після цього обчислимо модуль відносної швидкості

= 19,4 вуз. (23)

Рівняння лінії відносного руху можна записати як рівняння прямої, що проходить через точку вздовж вектора, тому воно має вигляд

, (24)

де = 8,30 (милі) та= 4,41 (милі) та– тангенс кута нахилу лінії відносного руху до осіx, який знаходимо через компоненти вектора відносного руху

. (25)

Найкоротша відстань між суднами визначиться віддаллю точки А(0,0) від цієї прямої, тому

. (26)

Зауважимо, що формула (26) співпадає з формулою (15). Підставляючи дані, отримуємо

= 2,00 милі.

Для знаходження моменту часу, коли судно буде в точці, потрібно віддальподілити на модуль відносної швидкості

. (27)

Величину розраховуємо з прямокутного трикутника

= 9,18 милі,

тоді

години»28 хв.

Таким чином методи абсолютного та відносного рухів дають співпадаючі результати: швидкість відносного зближення суден = 19,4 вузла, вони розійдуться через»28 хв. на найкоротшій відстані = 2,0 милі.

Розв’язок задачі методом відносного руху суден не тільки спрощує розв’язання, але і дозволяє узагальнити задачу на випадок розходження суден в області дії постійної течії, бо відносна швидкість в цьому випадку не зміниться. Дійсно

. (28)

Відповідь:= 2,0 милі та»28 хв.