Методика розв’язання прямої задачі а) Абсолютний рух

Графічно – побудуємо схему руху судента.

Вказуємо положення кожного судначерез 0,1, 0,2, 0,3 і т.д. годин.

Визначаємо відстань між суднами у вказані моменти часу до тих пір, поки одне з суден не пройде точку перетину траєкторій абсолютних рухів. По зміні пеленгу суден визначаємо схему розходження. Отримані дані дозволяють оцінити час розходження і мінімальну відстань між суднами.

Аналітичнорозраховуємо мінімальну відстань між суднами та час розходження. Вводимо декартову систему координат, помістивши початок координат у початкове положення судна, та записуємо вирази для координат суден у довільний момент часу.

Знаходимо залежність відстані між ними у довільний момент часу . З умови мінімуму знаходимо час розходження та найкоротшу відстань.

Б) Відносний рух

Графічнона схемі руху суден вказуємо вектори абсолютної швидкості кожного судна. Переходимо до схеми відносного руху – вводимо рухому систему координат, яка жорстко зв’язана з судном. Тоді суднобуде вважитися нерухомим, а суднобуде мати швидкість відносного руху

.

Будуємо вектор швидкості і вздовж нього проводимолінію відносного руху. Довжина перпендикуляра, опущено з точкина неї (точкаС), визначає мінімальну відстань при розходженні.

Вимірюємо величину швидкості відносного руху та пройдений судном шлях до точки розходженняСі знаходимо час розходження.

Якщо з точки Ввідкласти відносне переміщення судна у моменти 0,1 години, 0,2 години та 0,3 години і так далі, то визначимо відстань між суднами у ці моменти часу і порівняємо їх з отриманими значеннями у методі абсолютного руху.

Аналітично – записуємо вирази для векторів абсолютної швидкості кожного судна обчислюємо їх і знаходимо вектор відносної швидкості

.

Записуємо рівняння лінії відносного руху, яка проходить через точку вздовж вектораі обчислюємо відстань точкивід неї, яка визначає мінімальну відстань при розходженні.

Розраховуємо модуль відносної швидкості і довжину шляхуВС до моменту розходження, що дозволяє визначити час розходження.

Приклад. В заданий момент часу за допомогою радара, що знаходиться, наприклад, на судні, визначено віддаль= 9,4 милі та пеленг= 62° судна(горизонтальний кут міжта напрямом на судно, виміряним за стрілкою годинника). Курси суден= 18° і= 306° (кути між нордомта відповідним вектором швидкості, які виміряні за стрілкою годинника) та швидкості= 16 вузлів та= 17 вузлів івідомі та залишаються незмінними.

Якщо курси суден перетинаються, то потрібно визначити найменшу відстань між суднами , а також момент часу, у який це відбудеться?

Спочатку обмежимося розглядом абсолютного руху двох тіл, а потім зведемо задачу до відносного руху.

В модельній задачі розглядаючи рух суден, будемо вважати їх точковими, тобто нехтувати розмірами кожного судна.

1. Метод абсолютного руху суден

Графічний метод. В абсолютній (нерухомій відносно поверхні Землі) системі відліку введемо декартову систему координат . Її початок сумістимо з судномта направимо вісьгоризонтально, а вісьна північ вздовж меридіана (по норду).

По заданому пеленгу (відкладеному від нордуза стрілкою годинника) з точкипроводимо промінь та у вибраному масштабі (1 см = 1 миля), відкладаємо на ньому величинуі знаходимо початкове положення судна(рис. 4.1). З точокіпо заданим курсамтапроводимо промені та отримуємо траєкторіїтаабсолютного руху суден (рис. 4.1). Оскільки траєкторії перетинаються, то потрібно розв’язувати задачу на розходження.

За відомими значеннями швидкостей, визначаємо шлях, яке проходить кожне судно за = 6 хв. = 0,1 години (= 1,6 см та= 1,7 см),= 12 хв. = 0,2 години (= 3,2 см та= 3,4 см),= 18 хв. = 0,3 години і так далі. На траєкторіях абсолютного руху судентапозначаємо відповідні положення суден (рис. 4.1).

Вимірюємо відстані між суднами та пеленги судна у ці моменти часу і отримуємо: = 7,5 милі,= 5,7 милі,= 3,9 милі = 2,5 милі, = 2,1 милі.= 59° , = 54°= 44°,= 20° та= 330°. Зміна пеленга суднаозначає, що суднатарозійдуться. Оскільки суднознаходиться праворуч, а його пеленг зменшується, тоу даній задачі судно проходить перед судном(по носу судна). Якби при даному початковому розташування суден зміна пеленгу була зворотною, то суднопроходило би перед судном(по носу судна).

За отриманими даними можемо лише оцінити час розходження – він буде більше ніж 0,4 години, і дають можливість оцінити найкоротшу відстань.

Аналітичний метод дозволяє розрахувати відстань між суднами у довільний момент часу, мінімальну відстань при розходженні та момент часу, коли воно відбувається.

Для введеної нерухомої відносно Землі системі координат рівняння абсолютного руху кожного судна мають вигляд:

, (1)

(2)

де вектори ,тазадані своїми напрямами та чисельними значеннями.

З рівнянь (1) та (2) записуємо координати суден тау довільний момент часуу системі координат :

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

(всі віддалі в милях, а швидкості у вузлах).

З системи рівнянь (3) – (6) розраховуємо у довільний момент часу відстаньміж судномтаі пеленгсудназа формулами:

=, (7)

=, (8)

де може приймати значення 0; 1 чи 2 в залежності від умови задачі, а сталі коефіцієнти знаходимо з виразів:

= – 18,69 вуз., (9)

= – 5,22 вуз., (10)

= 8,30 милі, (11)

= 4,41 милі, (12)

формул (3) – (6) у моменти часу ,тазнаходимо координати кожного судна (милі) та пеленг суднаВ:

= 0,49 милі, = 1,52 милі,= 6,92 милі,

= 5,41 милі, = 7,52 милі,= 58,3° ;

= 0,99 милі, = 3,04 милі,= 5,55 милі,

= 6,41 милі, = 5,67 милі,= 53,6°;

= 1,48 милі, = 4,57 милі,= 4,17 милі,

= 7,41 милі, = 3,92 милі,= 43,4°;

= 1,98 милі, = 6,09 милі,= 2,80 милі,

= 8,41 милі, = 2,50 милі,= 19,5°;

= 2,47 милі, = 7,61 милі,= 1,42 милі,

= 9,41 милі, = 2,10 милі,= 329,8°.

Ці результати підтверджують правильність графічного розв’язку (рис. 4.1).

За формулою (7) розраховуємо відстань між суднами і будуємо залежність (рис. 4.2). З графіка видно, що величина відстаніміж суднами змінюється не монотонно. Мінімум кривої дозволяє визначити найменшу відстань між суднами2 милі та момент часу0,47 год28 хв., коли це відбудеться.

Аналітично найменшу віддаль між суднами знаходимо з умови рівності нулю похідної:, що згідно рівнянню (7) дає

, (13)

звідки визначаємо час , коли судна розійдуться на найменшій відстані

. (14)

Для визначення необхідно підставити значенняу вираз для, що після алгебраїчних перетворень дає

(15)

З урахуванням даних задачі, з формул (14) та (15) отримуємо: = 0,47 години.28 хв.,= 2,0 милі, що підтверджує дані, які визначили, розв’язуючи задачу графічним методом.

Час розходження = 0,47 год. дозволяє визначити координати (в милях) кожного судна у цей момент:

, ,

= 2,20, = 9,11.

Положення суден тау момент розходження (точкитана їх траєкторіях абсолютного руху) та відстань між нимивказані на рис. 4.1.