§ 2. Система збіжних сил

Система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці, називаєтьсязбіжною. Нехай задано довільну систему збіжних сил (, які прикладені до твердого тіла (рис. 2.1, а). Перенесемо ці сили, як ковзні вектори, в точкуперетину ліній їх дії (рис. 2.1, б). Користуючись формулою (1.5), знайдемо рівнодійнусистеми сил.

Для того, щоб тверде тіло під дією системи збіжних сил знаходилось у рівновазі, необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова

= 0. (2.1)

Векторному рівнянню (2.1) відповідають три скалярні:

= 0, (2.2)

, (2.3)

, (2.4)

де (), () та () – алгебраїчні проекції сил на декартові вісі,та.

Отже, для того, щоб тверде тіло під дією збіжної системи сил знаходилось в рівновазі, необхідно та достатньо, щоб сума проекцій всіх силна три взаємно перпендикулярні осі координатдорівнювали нулю.

У разі рівноваги системи збіжних сил, що лежать у площині, наприклад , рівняння (2.4) виконується автоматично і умова рівноваги зводиться до рівності нулю суми проекцій цих сил на дві взаємно перпендикулярні осіта.

Контрольні запитання

1. За яких умов тверде тіло буде знаходитися в рівновазі під дією двох сил? 2. За яких умов тверде тіло буде знаходитися в рівновазі під дією трьох сил?

3. Що називають в’язями? Сформулюйте принцип звільнення від в’язей.

4. Вкажіть в’язі, для яких напрям реакції відомий.

5. Яка система сил називається збіжною?

6. Як визначається напрям та величина рівнодійної системи збіжних сил при побудові силового трикутника?

7. Сформулюйте умови та запишіть рівняння рівноваги збіжної системи сил, розташованих в площині.

8. Сформулюйте умови та запишіть рівняння рівноваги збіжної системи сил, розташованих в просторі.

Методика розв’язання задач

1. Знаходять точку, в якій перетинаються лінії дії сил.

2. Вказують усі зовнішні сили, що діють на тіло.

3. Користуючись аксіомою звільнення від в’язів, дію в’язів замінюють їх реакціями.

4. Обирають зручну систему координат та розкладають зовнішні сили та реакції на складові вздовж цих осей.

5. Записують умови рівноваги отриманої системи сил, з якої знаходять невідомі величини.

Приклади на визначення реакцій в’язів для системи збіжних сил

Приклад 1 - плоска система сил. Плоска конструкція складається з двох стрижнівтаBC, які з’єднані в точціBшарнірно і закріплені шарнірно на горизонтальній основі в точкахта.

Знайти реакції стрижнів коли на точку діє сила= 1200 Н, яка утворює кут= 45° з вертикальною прямою, а стрижнітаBCутворюють кути = 60° та = 30° згоризонтом (рис. 2.2).

Розв’яжемо задачу з умови рівноваги точки .

1. Внаслідок того, що реакція жорсткого стрижня на шарнірах діє вздовж лінії, що з’єднує центри шарнірів на його кінцях, робимо висновок, що точкою перетину всіх сил є точкаВ.

2. На точку діє тільки одна активна сила.

3. Відкидаємо в’язі і замінюємо їх реакціями та(рис. 2.3), які спрямовані вздовж стрижнівтаBCвідповідно. Істинні напрями реакцій з’ясуємо після розв’язку задачі. Таким чином отримали збіжну у точціплоску систему сил.

4. Умова рівноваги має вигляд

.

Для визначення невідомих реакцій тавведемо декартову систему координат з початком в точці, вісі якої спрямовані паралельно та перпендикулярно до(рис. 2.3).

Кути, які утворюють реакції тазнаходимо з умови паралельності вісіта прямої, що дозволяє визначити проекції силиі реакційта.

5. В проекціях на вибрані вісі рівняння рівноваги приймають вигляд

,

.

Перепишемо систему рівнянь у вигляді

,

.

Розв’яжемо систему рівнянь методом Крамера. Знайдемо головний визначник системи

.

Підставляючи дані задачі, маємо

== 10,

отже система має єдиний розв’язок. Допоміжні визначники дають:

,

.

Підставляючи значення сили, для величин реакцій отримуємо:

= 311 Н,

= 1160 Н.

Отримані знаки > 0 та> 0 вказують, що напрями реакцій такі, як вказано на рисунку 2.3, тобто стрижнітаBCстиснуті.

Відповідь: = 311 Н,= 1160 Н.

Приклад 2 – просторова система сил.Визначення реакцій методом проекцій на декартові вісі.

Вантаж вагою = 1000 Н утримується у рівновазі нерозтяжним невагомим тросомі двома невагомими стрижнямита, які з’єднані в точцішарнірно і закріпленні шарнірно в точкахта. Площинагоризонтальна, а(рис. 2.4).

Знайти реакції стрижнів таі тросу, якщо орієнтація стрижнів та троса в просторі задається кутами:,та.

Розв’язання.До точкиприкладена активна сила. Точказнаходиться у рівновазі за рахунок в’язів, накладених на неї. Звільнимо тіло від в’язів і замінимо їх дію відповідними реакціями.

Реакції ,та направляємо вздовж стрижнів та троса, а напрями вибираємо довільно, наприклад, як зображено на рис. 2.5 та отримуємо просторову систему збіжних сил у точці.

Умова рівноваги має вигляд

=. (1)

Для визначення реакцій розташуємо початок декартової системи координат в точці, вісьспрямуємо вздовж лінії, а вісіта– паралельно прямимта(рис. 2.5).

В проекціях на осі координат ,таотримуємо:

- оскільки сили талежать в площині, то їх проекції на вісьдорівнюють нулю, тому

== 0; (2)

- оскільки сила паралельна осі, то проекціяна вісьдорівнює нулю, тому

=; (3)

- оскільки сили талежать в площині, то їх проекції на вісьдорівнюють нулю, тому

== 0. (4)

З останнього рівняння знаходимо реакцію з боку троса

= 2000 Н.

Після підстановки цього значення в рівняння (3) отримуємо систему рівнянь:

= 0,

= 2000,

розв’язок якої відносно тадає:

= 1100 Н,= 780 Н.

Отримані додатні знаки для ,тавказують, що відповідні вектори мають напрями такі, як вказано на рис. 2.5.

Відповідь:Н;Н;= 2000 Н.

Приклад 3 – просторова система сил. Визначення реакцій методом одиничного вектора. Однорідна прямокутна пластина, розмір якої= 2 м,= 3 м, підвішена до опори за допомогою трьох тросів (рис. 2.6).

Точка знаходиться безпосередньо вище центрапластини, а точки закріплення тросів,тазображені на рис. 2.6. Товщиною пластини нехтувати,= 3 м,ED = DC,KC = 0,4м.

Визначити реакції тросів ,, тау точкахA,DтаС, якщо поверхнева вага пластини= 3000 Н/м².

Розв’язання.Пластина знаходиться у рівновазі за рахунок накладених на неї в’язів. Реакції,, та (рис. 2.7) прикладені до пластини у точкахA,DтаС, та напрямлені до точкиВоскільки у тросах виникають розтягувальні зусилля.

Звільнимо тіло від в’язів і замінимо їх дію відповідними реакціями. Тоді умови рівноваги пластини зводяться до рівняння

(1)

де

, (2)

оскільки площа пластини = 6 м², то= 18000 Н.

Запишемо вирази для реакцій та ваги пластини через одиничні вектори, які визначають напрями дії кожної з них (дивись рис. 2.7):

,

.

Підставляючи отримані вирази у формулу (1) отримуємо

,

звідки отримуємо три скалярні рівняння

для :,

для :,

для :.

Розв’язуємо систему рівнянь методом Крамера. Знаходимо визначники системи: головний

,

та допоміжні:

,

,

.

Тоді для реакцій у точках А,DтаСотримуємо:

= 5830 Н,= 8430 Н,= 5680 Н.

Відповідь: = 5830 Н,= 8430 Н,= 5680 Н.