Розділ I. Статика

Статика є розділ теоретичної механіки, який вивчає:

– властивості сил, прикладених до твердого тіла;

– приведення складних систем сил до еквівалентних;

– умови рівноваги тіл під дією сил.

§ 1. Операції з силами, які прикладені в одній точці

Складання сил.Дві силита(рис. 1.1 та 1.2), які прикладені в одній точціА, можна замінити рівнодійною, яку знаходимо геометрично за правилом паралелограма(рис. 1.1) аботрикутника (рис. 1.2).

Для того, щоб скласти сили за правилом паралелограма(рис. 1.1) необхідно через кінці векторівта, що зображені на рис 1.1. а), провести лінії, паралельні до них (рис. 1.1, б), та провести діагональ цього паралелограму з точкиА(рис. 1.1, в)). Відповідний векторз початком у точціАі кінцем у протилежному куті паралелограму і буде векторною сумою.

Для того, щоб скласти сили (рис. 1.2, а)) за правилом трикутниканеобхідно паралельно перенести один з векторів, наприклад, вектор, так, щоб його початок співпав з кінцем першого вектора– (рис. 1.2, б)). Вектор, який з’єднує початок першого з векторів з кінцем перенесеного вектора(рис. 1.2, в) і буде векторною сумою

Звернемо увагу на наступне:

1) складання векторів – операція однозначна;

2) положення та величина рівнодійної не залежить від методу складання векторів та їх порядку, отож,;

3) складанням векторів за правилом трикутника зручно користуватися, коли вихідні вектори спрямовані у одному, чи протилежних напрямах.

Модуль рівнодійної знаходимо за теоремою косинусівдля векторів

, (1.1)

де – кут між силамита, а напрям сили(кут, який вона утворює з силою, або кут, який вона утворює з силою), знаходимо за теоремою синусів (рис. 1.1, в)) з урахуванням того, що

. (1.2)

Тоді з (1.2) отримуємо:

, (1.3)

, (1.4)

що дозволяє визначити кути і.

Знайдемо рівнодійну у випадку трьох сил ,та, які прикладені в точціА і не лежать в одній площині (рис.1.3, а). Їх суму легко знайти, застосовуючи послідовно правило трикутника: спочатку складемо перші два векторита, а до отриманого вектора додамо(рис. 1.3, б), тобто виконаємо наступну дію.

Отже суматрьох сил, які не лежать в одній площині, визначається діагоналлю паралелепіпеда (рис. 1.3, б), побудованого на цих силах, як на сторонах.

Узагальнити правило складання сил можна на випадок сил,,, які прикладені в одній точці. Рівнодійну(рис. 1.4) визначимо як суму цих сил

. (1.5)

Для її знаходження з кінця вектора, що дорівнює першій силі , відкладемо вектор, що дорівнює силіі т. д. З’єднавши початок першого вектораз кінцем останнього, знаходимо рівнодійну(рис. 1.4). Одержаний таким чином многокутник називається многокутником сил (силовим многокутником.

Розкладання сил.У багатьох випадках операції з силами спрощуються, коли вони здійснюються через їх складові. Розкласти силу на складові – означає знайти таку систему декількох сил, для якої дана сила є рівнодійною.

Якщо складання сил операція однозначна, то розкладання сили (знаходження її складових) – неоднозначна. Для однозначного визначення цих складових необхідно знати:

– або напрями, вздовж яких діють складові;

– або інші складові, крім невідомої.

Для знаходження складових застосовуютьметод проекцій.

А) Проекція вектора на площину – це вектор, початок і кінець якого визначаються проекціями на цю площину відповідно початку і кінця заданого вектора. Для знаходження проекції потрібно опустити перпендикуляри на площинуз початку (отримаємо точку) та кінця (отримаємо точку) вектора. Проекціявекторана площинупоказана на рис. 1.5.

Модуль проекції

(1.6)

де – гострий кут між векторомта площиною(рис. 1.5).

Б) Проекція сили на вісь

Вираз „проекція сили на задану вісь”, наприклад,(рис. 1.6), має два тлумачення:

1) алгебраїчна проекціявектора на вісь –це число, яке дорівнює різниці координат кінця і початку вектора

,

і може бути визначене через скалярний добуток вектора сили на одиничний вектор (орт), який характеризує додатній напрям осі, тобто

, (1.7)

де- кут між додатнім напрямом осіта напрямом сили. Якщо цей кут гострий, то алгебраїчне значення проекції> 0 (рис. 1.6, а), якщо кут між векторамитатупий, то< 0 (рис. 1.6, б);

2) геометрична проекціявекторана вісь –це вектор, паралельний до осі(рис. 1.6). Початок цього вектора співпадає з початком вектора, а кінець визначається перетином лінії, яка визначає координату кінця вектора.

. (1.8)

Методи знаходження складових сили:

Розглянемо два випадки знаходження складових, які найчастіше зустрічаються:

вісі, на які проектуємо вектор, лежать в площині;

вісі, на які проектуємо вектор, мають просторову орієнтацію

Випадок, коли складові лежать в площині

1. Якщо для сили задані напрямита, вздовж яких діють складові; кут між напрямами, та кут, що утворює сила з одним із напрямів (рис. 1.7).

1.1. Через кінець вектора креслять прямі, паралельні цим напрямам до перетину зта(рис. 1.7, б);

1.2. На визначених таким чином сторонах паралелограма отримують складові сили (та), початок яких співпадає з точкою прикладання сили(рис. 1.7, в). Модулі складових силизнаходять за теоремою синусів (1.2), скористувавшись тим, що відома сторонаRлежить проти кута 180° –, (нагадаємо, що), а кут.

2. Якщо для силизадана одна складова(відомий її модуль та напрям – кут, який вона утворює з вектором- рис. 1.8, а), то для того, щоб визначити невідому складову, треба спочатку побудувати вектор, який з’єднає кінець вектораз кінцем вектора(рис. 1.8, б), та паралельно перенести так, щоб сумістити його початок з початком вихідного вектора- точкоюА(рис. 1.8, в). Отриманий векторз початком у точціА і буде другою складовоюзаданого вектора.

Модуль векторавизначається за теоремою косинусівдля трикутників

, (1.9)

а його напрям – кут – за допомогою теореми синусів, оскільки

(1.10)

У випадку декартової системи координат (рис. 1.9) складові знаходимо за першим методом. Алгебраїчні проекції вихідної сили на вісіx та yочевидні:

, (1.11)

. (1.12)

Випадок, коли складові мають просторову орієнтацію.

У більшості випадків ми маємо справу з декартовою системою координат. В цьому випадку прямі, на які проектуємо сили взаємно перпендикулярні. Тому обмежимося розглядом знаходження складових у декартовій системі координат. Для зручності початок координат розташовуємо у точці прикладання сили.

Графічний метод.Розкладаємо векторна дві складові: одна з якихлежить в площині, а друга- перпендикулярна. Далі складовурозкладемо ще на дві складові по координатним осямта(рис. 1.10). В результаті отримаємо три геометричні проекції векторана координатні вісі.

Знайдені складові задовольняють умові

=. (1.13)

Аналітичні методи.Формули, за якими розраховуються складові, визначаються способом, який задає орієнтацію векторапо відношенню до декартових осей.

1. Знаходження складових коли положення вектора визначено кутом міжтата кутом- між (проекцією на площину) та віссю (рис. 1.10).

Тоді для модуля проекції вектора на площину отримуємо

. (1.14)

Далі складову розкладемо на складовітапо осямта(рис. 1.10), модулі яких будуть:

(1.15)

(1.16)

Остання складова, яка перпендикулярна до , має модуль

. (1.17)

Складові ,тазв’язані з модулемтеоремою Піфагора

. (1.18)

2. Знаходження складових коли напрям векторазаданий трьома кутами по відношенню до декартової системи координат.

Нехай вектор сили спрямований вздовж лініїАВ, орієнтація якої задана кутами,таз додатними напрямами осей координат (рис. 1.1).

Побудуємо паралелепіпед, для якого лініяАВє його головною діагоналлю (рис. 1.1).

Здійснимо переміщення з точки у точку шляхом трьох векторних переміщень ,та, які мають напрями ребер прямокутного паралелепіпеда (рис. 1.12), тоді

. (1.19)

Одиничний вектор (рис.1.12), який визначає напрям дії сили, знайдемо з виразу:

(1.20)

Величини,,називаються напрямними косинусами, якіповністю визначають напрям вектора , отже орієнтацію силиу декартовій системі координат.

Зауважимо, що кути зв’язані умовою

, (1.21)

що є наслідком формули (1.20).

Як заключний крок, скористаємося формулою (1.20) і представимо вектор сили наступним чином

(1.22)