§ 4. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Скалярна величина, яка дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості, називається кінетичної енергією точки

=. (4.1)

Кінетичною енергією системи матеріальних точок називається сума кінетичних енергії усіх точок системи

=. (4.2)

1. Якщо тверде тіло здійснює поступальний рух, то швидкостівсіх його точок однакові і його кінетична енергіявизначається як половина добутку маси тілана квадрат швидкості

=. (4.3)

2. Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі (наприклад, ) з кутовою швидкістю, то його кінетична енергіядорівнює половинідобутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат кутової швидкості

. (4.4)

3. Якщо тверде тіло здійснює плоский рух, то такий рух можна розглядати як суперпозицію двох простих рухів – поступального руху центра мас зі швидкістю та обертального руху з кутовою швидкістюнавколо осі, що проходить через центр мас перпендикулярно площині руху. Тоді його кінетична енергіявизначається як

+. (4.5)

4. Якщо механічна система складається з декількох тіл, то її кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл, що входять в систему, тобто

. (4.6)

Нагадаємо, що розмірністю кінетичної енергії в системі SI є 1 Дж = 1 Н·м.

Для характеристики дії сили на матеріальну точку на деякому шляху вводиться міра цієї дії, яка називається роботою. Елементарна роботасилипри елементарному переміщенні матеріальної точки навизначається за правилами скалярного добутку як

=·=, (4.7)

де – кут між векторамита. Отже, ця фізична величина має розмірність джоуль і може бути як додатною, так і від’ємною:

– додатна, якщо кут між напрямом сили та переміщенням гострий;

– дорівнює нулю, якщо цей кут прямий;

– від’ємна, якщо цей кут тупий.

Робота сили при переміщенніматеріальної точки від точки до точкивизначається інтегралом

=. (4.8)

Розглянемо роботу конкретних сил, які можуть діяти в механічній системі.

1. Робота сил однорідного поля тяжіння виконується силами тяжіння при переміщенні тіла (матеріальної точки) масоюз початкового в кінцеве положення. Ця робота не залежить від форми траєкторії, і визначається лише різницею кінцевого та початкового положень тіла вздовж вертикалі. Наприклад, при переміщенні тіла з положення 1 в положення 2 (догори) по довільній траєкторії (рис. 4.1), робота сил тяжіння визначається як

, (4.9)

і буде від’ємною оскільки >. В таких випадках говорять про виконання роботи проти сили тяжіння. Навпаки, при переміщенні тіла з положення 2 в положення 1 (вниз) робота сил тяжіння буде додатною

> 0, (4.10)

і говорять про те, що така робота виконана силою тяжіння.

2. Робота сили пружностіпри розтягуванні (стискуванні) пружини жорсткістювід положеннядо положеннявизначається як

, (4.11)

де – довжина недеформованої пружини, і також не залежить від траєкторії точки, а залежить лише від її кінцевих положень.

3. Робота сил при повороті тілана кінцевий кут при обертанні навколо нерухомої осі (наприклад,) визначається рівнянням

, (4.12)

де – момент зовнішньої сили відносно нерухомої осі, а– кут, на який повернулося тіло.

4. Робота сил тертя ковзання.Оскільки сила тертя завжди направлена в бік, протилежний відносній швидкості (проти переміщення), то робота сила тертя визначиться взятому зі знаком мінус добутку модуля сили тертя=(– коефіцієнт тертя ковзання,– реакція опори) на довжину траєкторії

. (4.13)

5. Робота сил тертя кочення. Якщо тіло котиться без ковзання по поверхні іншого нерухомого тіла, сила тертя кочення створює момент=і для роботи сили тертя кочення отримуємо

, (4.14)

де – – коефіцієнт тертя кочення,– кут, на який повернулося тіло.

Зауважимо, що на відміну від кінетичної енергії системи, яка є функцією стану системи, робота є функцією процесу, які мають місце в системі і між цими величинами існує певний зв’язок.

Якщо в процесі руху механічна система перейшла з одного стану, який вона мала в момент часу = 0, в інший, що відповідає моменту часу, то можна отримати зв’язок між зміною кінетичної енергії та роботою сил, які прикладені до системи

, (4.15)

де та– кінетична енергія механічної системи в кінцевому та початковому станах, а– повна робота, яку здійснюють при цьому переміщенні всі прикладені до системи внутрішні () та зовнішні () сили.

Рівняння (4.15) є записом теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії механічноїсистеми за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт внутрішніх та зовнішніх сил, які діють на елементи системи протягом даного проміжку часу.

Відмітимо, що у випадку, коли матеріальна система складається з абсолютно твердих тіл(тобто коли можна нехтувати деформаціями в цій системі), то під дією внутрішніх сил не відбувається зміщень частинок системи,тому сума робіт всіх внутрішніх сил абсолютно твердого тіла при любому його переміщенні дорівнює нулю і теорема про зміну кінетичної енергії набуває вигляду

. (4.16)