Розділ іv. Спеціальні питання

У цьому розділі задачі, які мають фахову спрямованість і в яких продемонстровано, як загальні принципи теоретичної механіки застосовуються до розв’язання задач, які пов’язані з виконанням професійних обов’язків на морському та річковому транспорті.

Задачі стосуються статики, кінематики та динаміки. В залежності від напряму підготовки, студенти (курсанти) виконують певні завдання з даного розділу.

§ 1. Тертя на циліндричній поверхні

З досліду відомо, що велика сила, прикладена до одного кінця канату може бути врівноважена малою силою з іншого його кінця, якщо на нерухоме циліндричне тіло накинути декілька обертів канату (мотузки чи паса). Величина цієї сили зменшується при зростанні кількості обертів канату на тілі. Це є результатом існування тертя на циліндричній поверхні (belt friction) між поверхнею тіла та канатом (мотузкою чи пасом).

Розглянемо плоский пас, який накинутий на нерухомий циліндр радіуса (рис. 1.1). До одного кінця паса прикладена сила. Знайдемо найменше значення сили, яку необхідно прикласти до другого кінця, щоб зрівноважити силу, коли пас не ковзає по тілі і утворює на ньому дугу з центральним кутом. Коефіцієнт тертя між пасом і тілом.

Для цього виділимо елемент паса, який охоплює центральний кут (рис. 1.1). Умова рівноваги цього елементу зводиться до виконання умови

. (1.1)

Тут - натяг паса,- сила нормального тиску паса на циліндричну поверхню,- сила тертя з цією поверхнею. Введемо систему координат, початок якої сумістимо з серединою елементу дуги, на яку опирається центральний кут, вісьспрямуємо по дотичній, а вісь- від центру дуги.

Тоді рівняння рівноваги паса у проекціях на вісі таприймають наступний вигляд:

= 0, (1.2)

0. (1.3)

Оскільки , приймаємо що:

= 1, (1.4)

. (1.5)

Це дає можливість переписати (1.2) і (1.3) у вигляді:

, (1.6)

, (1.7)

де в останньому виразі ми знехтуємо добутком , як малою величиною другого порядку. Оскільки

, (1.8)

то, підставляючи (1.7) в (1.5), з урахуванням (1.6), отримуємо

==. (1.9)

Розділивши змінні в диференціальному рівнянні (1.9)

,

візьмемо інтеграли від правої та лівої частин в межах від дота від 0 довідповідно

,

та отримуємо

,

звідки визначаємо

. (1.10)

Аналіз останнього рівняння приводить до висновку, що відношення сил експоненціальне залежитьвід коефіцієнта тертята куту,який потрібно обчислювати у радіанах, та не залежить від радіусу круглого тіла.

Важливо розуміти, що рівняння(1.10)визначає максимальне відношення між силами, які, будучи прикладені на кінцях паса, забезпечать відсутність ковзання по циліндричній нерухомій поверхні.

Контрольні запитання

1. Як залежіть сила тертя між пасом і циліндричною поверхнею від коефіцієнту тертя між пасом та поверхнею?

2. Як залежіть сила тертя між пасом і циліндричною поверхнею від радіусу круглої поверхні?

3. Вантаж, вага якого Р=1000 Н утримується в рівновазі силою= 700 Н за рахунок мотузки накинутої на нерухоме циліндричне тіло (рис. 1.2).

Яка мінімальна сила зможе утримати цей вантаж, якщо мотузка охоплює:

а) половину циліндра (рис. 1.2)?

б) три чверті циліндра (рис. 1.2)?