§ 9. Визначення центра тяжіння тіла

Центром тяжіння твердого тіла називається точка, до якої прикладена рівнодійна сила однорідного поля тяжіння. Ця точка не обов’язково знаходиться в тілі, наприклад, для кільця центр тяжіння розташований за межами твердого тіла. Визначення центра тяжіння тіла є важливою задачею при проектуванні та експлуатації суден, оскільки взаємне положення центра тяжіння судна та його метацентру визначає остійність судна.

Якщо тіло однорідне (маса рівномірно розподілена по його об’єму) та має вісь (площину або точку) симетрії, то центр тяжіння знаходиться на цій осі (площині або в цій точці). Якщо тіло несиметричне, або неоднорідне, то його розбивають на сукупність елементів, для яких координати центра тяжіння можна легко встановити, а центр тяжіння тіла знаходять за наступними формулами:

,,. (9.1)

Тут: ,,- координати центра тяжіння тіла,- вага елемента,,,- координати центра тяжіння цього елемента.

Для однорідних тіл формули (9.1) можуть бути спрощені. Для однорідного трьохмірного тіла з питомою вагою ,, тому в формулах (9.1) замість ваги елементаможна підставляти його об’єм. Для двомірного (плоского) тіла з поверхневою вагою,, тому замістьможна користуватися площею елемента. Для лінійних однорідних тіл замість ваги елемента можна користуватися його довжиною.

Нагадаємо формули, які визначають положення центра тяжіння однорідних тіл, що мають правильну форму:

1) центр тяжіння однорідного стрижнядовжиноюз координатами кінців () та () знаходиться на його середині, тому:

,,; (9.2)

2) центр тяжіння однорідного паралелограма з координатами вершин () знаходиться у точці перетину діагоналей, і розраховується за формулами:

,,; (9.3)

3) центр тяжіння однорідного трикутника, вершини якого мають координати () знаходиться у точці перетину медіан і розраховується за формулами:

,,; (9.4)

4) центр тяжіння однорідноїдугирадіусата кутом при вершині– на бісектрисі кута при вершині (рис. 9.1 а) на відстаніОСвід центру дуги:

,; (9.5)

де вісь- бісектриса кута при вершині.

5) центр тяжіння однорідного секторарадіусомта кутом при вершині– на бісектрисі кута при вершині (рис. 9.1 б):

,; (9.6)

де вісь - бісектриса кута при вершині.

6) центр тяжіння однорідного конусалежить на лінії, що з’єднує центр основи із вершиною конуса і ділить її у відношенні 1:3 (рис. 9.2 ), тобто

7) аналогічна формула визначає центр тяжіння однорідної піраміди(дивись рис. 9.3), для якої також

,

а точка – центр тяжіння однорідного трикутника (точка перетину медіан).

Контрольні запитання

1. Що таке центр тяжіння тіла? Як його знайти?

2. Як використовуються методи симетрії та вирізів для визначення центра тяжіння однорідного тіла. Наведіть приклади.

3. Як знайти координати центра тяжіння однорідного стрижня, прямокутника?

4. Як знайти координати центра тяжіння однорідного трикутника?

5. Як знайти координати центра тяжіння дуги кола, сектора?

6. Як знайти координати центра тяжіння однорідного конуса? піраміди?

7. Як врахувати вирізи при розрахунку центра тяжіння тіла?

Методика розв’язання задач

1. Розбиваємо фігуру на прості елементи, центр тяжіння яких можемо легко визначити.

2. Вибираємо систему координат та обчислюємо довжину (площу чи об’єм) та координати центра тяжіння кожного окремого елемента.

3. Знаходимо координати центра тяжіння фігури за формулою (9.1), беручи до уваги зауваження щодо визначення ваги однорідних тіл. Для плоских та об'ємних фігур вирізані елементи беремо зі знаком мінус.

Приклад 1.Знайти координати центра тяжіння просторової фігури, що складається з однорідних стрижнів (рис. 9.4), якщо= 10 м,= 8 м,= 6 м. Криволінійна ділянка контуру є половиною кола.

Розв’язання.Фігура, для якої потрібно визначити центр тяжіння складається з однорідних лінійних елементів.

Розіб’ємо фігуру на сім елементів (дивись рис. 9.4), довжини та центри тяжіння яких легко визначити, та знайдемо довжину та координати центра тяжіння,,кожного елемента:

= 6 м, = 10 м,= 0 м,= 3 м;

= 10 м, = 5 м,= 0 м,= 6 м;

= 8 м, = 10 м,= 4 м,= 6 м;

= 14,1 м,

= 5 м, = 4 м,= 3 м;

= 6 м, = 10 м,= 8 м,= 3 м;

= 11,7 м,

= 5 м, = 8 м,= 3 м;

= 15,7 м, = 5 м,

= 8 м, = 9,2 м.

Ці результати занесемо в таблицю, куди внесемо також відповідні добутки довжини елемента на координату центра тяжіння (останні три стовпчика).

	, м	, м	, м	, м	, м2	, м2	, м2
1	6	10	0	3	60	0	18
2	10	5	0	6	50	0	60
3	8	10	4	6	80	32	48
4	14,1	5	4	3	70,5	56,4	42,3
5	6	10	8	3	60	48	18
6	11,7	5	8	3	58,5	93,6	35,1
7	15,7	5	8	9,2	78,5	125,6	144,4
	71,5				457,5	355,6	365,8

Отримані значення дозволяють знайти координати центра тяжіння фігури:

= 457,5/71,5 = 6,4 м,

= 355,6/71,5 = 5,0 м,

= 365,8/71,5 = 5, 1 м.

Відповідь:= 6,4 м,= 5,0 м,= 5, 1 м.

Приклад 2.Знайти координати центра тяжіння просторового тіла, виготовленого з однорідних пластин (рис. 9.5).

Розв’язання.Тіло, для якого потрібно визначити центр тяжіння, складається з однорідних пластин. Тому для координат центра тяжіння тіла з формул (9.1) маємо:

,,.

Розіб’ємо тіло на елементи, площі та координати центра тяжіння яких легко знайти:

1. прямокутник зі сторонами 90 та 70;

2. прямокутний трикутник з катетами 60 та 40 (виріз);

3. прямокутник зі сторонами 90 та 40;

4. половина круга радіусом 30 см;

5. прямокутний трикутник з катетами 30 та 40 (виріз).

Послідовно знайдемо площі та координати центра тяжіння кожної фігури:

= 90·70 = 6300 см²,

= (0 +90)/2 = 45 см,

, = (0 +70)/2 = 35 см;

= 60·40/2 = 1200 см²,

=(90 + 90 + 30)/3 = 70 см, ,= (0+0+40)/3 = 13,3 см;

= 90·40 = 3600 см²,= 0 см,= (0 + 90)/2 = 45 см,

= (0 + 40)/2 = 20 см;

= 3,14·900/2 = 1413 см²,= 0 см,= 30 см,

= 40 += 52,7 см;

= 30·40/2 = 600 см²,= 0 см,= (60 + 90 + 90)/3 = 80 см,

= (0+0+40)/3 = 13,3 см;

Отримані значення та відповідні добутки внесемо у таблицю.

	, см2	, см	, см	, см	, см3	, см3	, см3
1	6300	45	0	35,0	283500	0	220500
2	– 1200	70	0	13,3	-84000	0	-15960
3	3600	0	45	20,0	0	162000	72000
4	1413	0	30	52,7	0	42390	74465
5	– 600	0	80	13,3	0	-48000	-7980
	9513				199500	156390	343025

Звернемо увагу на те, що площа вирізу (для трикутників 2 та 4) та добуток площі на координату увійшли в розрахунки зі знаком „–”.

Визначаємо координати центра тяжіння фігури за наведеними формулами:

= 199500/9513 = 21,0 см,

= 15390/9513 = 16,4 см,

= 343025/9513 = 36,1 см.

Відповідь:= 21 см,= 16,4 см,= 36,1 см.

Приклад 3.Знайти координати центра тяжіння однорідної просторової фігури (рис. 9.6). Розміри дані в сантиметрах.

Розв’язання.Оскільки тіло, для якого потрібно визначити центр тяжіння є однорідним, то розрахункові формули (9.1) запишемо у вигляді:

, ,.

Розіб’ємо тіло на прості фігури, об’єми та положення центра тяжіння яких легко знайти:

1 – прямий паралелепіпед зі сторонами 80х60х60 (рис. 9.7);

2 – пряма призма з основою 80х30 та висотою 60 (рис. 9.8);

3 – піраміда з основою 80х60 та висотою 50см (рис. 9.10);

4– половина циліндра радіусом 15 см (рис. 9.9).

Зауважимо, що остання фігура є вирізом, тому в розрахунку її об’єм ввійде зі знаком мінус.

Послідовно визначимо координати центра тяжіння кожної фігури та її об’єм. Для зручності переведемо розміри в дециметри. Тоді:

1) Для паралелепіпеда центр тяжіння знаходиться на перетині головних діагоналей (рис. 9.7), тому

= (0+8)/2 = 4 дм, = (0+6)/2 = 3 дм,= (0+6)/2 = 3 дм,

= 8·6·6 = 288 дм³.

2) Пряму призму уявимо як набір тонких трикутників, площини яких паралельні до площини, та які розташовані вздовж осі. Тоді центр тяжіння призми (рис. 9.8) знаходиться по середині лінії, що з’єднує точки перетину медіан крайніх трикутників:

= (0+8)/2 = 4 дм, = (6+9+6)/3 = 7 дм,= (0+6+0)/3 = 20 дм,

= 8·(3·6)/2 = 72 дм³.

3) Для піраміди (рис. 9.10) центр тяжіння знаходиться в точці для якої.

Для розрахунку координат центра тяжіння піраміди знаходимо проекцію точки (рис. 9.11) на площину основи піраміди і отримаємо точку. Тоді(рис. 9.11), що дозволяє визначити координати центра тяжіння піраміди:

= (3/4)·(8/2) = 3 дм, = (3/4)·(6/2) = 2,25 дм,

= 6+(11-6)/4 = 7,25 дм, = 8·6·(11-6)/3= 80 дм³.

4) Половину циліндра (рис. 9.9) уявимо як набір тонких половин кругів, площини яких паралельні до площини, та які розташовані вздовж осі. Тому для координат центра тяжіння цього елементу маємо:

= (0+8)/2 = 4 дм, = 1,5 дм,= 0,64 дм,

= 28,26 дм³.

Внесемо ці результати та відповідні добутки об’ємів елементів на координати центра тяжіння в таблицю

	, дм3	, дм	, дм	, дм	, дм4	, дм4	, дм4
1	288,00	4,00	3,00	3,00	1152,0	864,0	864,0
2	72,00	4,00	7,00	2,00	288,0	504,0	144,0
3	80,00	3,00	2,25	7,25	240,0	180,0	580,0
4	-28,26	4,00	1,50	0,64	-113,0	-42,4	-18,0
	411,74				1567,0	1505,6	1570,0

Звернемо увагу, що об’єм половини циліндра (виріз) взяти зі знаком „–” і добутки його об’єму на координати увійшов в розрахунки зі знаком „–”.

Отже для координат центра тяжіння тіла отримуємо:

= 1567,0/411,74= 3,81 дм = 38,1 см,

= 1505,6/411,74= 3,66 дм = 36,6 см,

= 1570,0/411,74= 3,81 дм = 38,1 см.

Визначені координати центра тяжіння фігури вказані на рис. 9.12.

Відповідь:= 38,1 см;= 36,6 см;= 38,1 см.