Контрольні запитання

1. Що називається моментом сили відносно точки? Що він характеризує?

2. В яких одиницях вимірюється момент сили?

3. Як визначається напрям моменту сили відносно точки?

4. Вкажіть методи обчислення модуля вектора моменту сили відносно точки.

5. Що таке плече сили?

6. Як змінюється момент сили відносно точки, якщо точка прикладання сили зміщується вздовж лінії її дії?

7. Як знайти алгебраїчне значення моменту сили відносно точки?

8. У яких випадках момент сили відносно точки дорівнює нулю?

Методики визначення моменту сили відносно точки

В площині, яка визначається лінією дії сили та точкою , розташовуємо декартову систему координат, наприклад,.

1. Графічний метод: в обраному масштабі на площині позначаємо точкуприкладання сили та точку, відносно якої треба визначити момент сили. Користуючись транспортиром, з точкибудуємо векторпід відповідним кутомдо вісі, який відкладаємо проти руху стрілки годинника. З точкиопускаємо перпендикуляр на лінію дії сили та вимірюємо плече сили. Знаходимо алгебраїчне значення моменту сили відносно точкиза формулою.

2. Аналітичні методи:

2.1. Через плече сили. Визначаємо рівняння лінії, вздовж якої діє сила

, (3.12)

де – тангенс кута нахилу лінії дії сили до осі.

Після цього знаходимо плече сили – віддаль точки до лінії, вздовж якої діє силаза формулою

, (3.13)

та визначаємо момент сили – відносно точкиза формулою (3.6)

.

2.2. Як векторний добутоквекторів та . Визначаємо складові сили =та радіус–вектора=, який проведено з точкидо точкиприкладання сили.

При цьому , а, і обчислюємо момент силивідносно точкикористуючись формулою (3.4) для конкретного випадку

(3.14)

Отже, момент сили перпендикулярний до площини, в який лежать вектори та .

2.3. Використовуючи теорему Варіньона. Момент силивідносно точкизнаходимо як суму моментів її складових

=, (3.15)

де таобчислюємо як у пункті 2.2, а знаки ”+” чи ”–” обираємо згідно вказаному правилу визначення знаку моменту сили (дивись формулу 3.6), беручи до уваги можливий напрям обертання твердого тіла під дією кожної складової навколо заданої точкиВ.

Приклад.Знайти момент сили= 52 Н, що прикладена до твердого тіла в точціз координатами ( 2, –5 ) у площинівідносно точки(7, –2) та відносно точки- початку координат (координати задані в метрах). Сила утворює кут= 60° з додатним напрямом вісі.

Задачу розв’язати наступними методами:

1) графічно– зобразити дані задачі в декартовій системі координат у масштабі для: 1 см = 1м і визначити алгебраїчне значення моменту сили як добуток сили на плече;

2) аналітичнонаступними методами:

а) як добуток сили на плече (записати рівняння прямої, вздовж якої діє сила, та обчислити відповідне плече сили);

б) склавши та обчисливши матрицю для векторного добутку;

в) використовуючи теорему Варіньона, як суму моментів складових сили.

Розв’язання.

Графічний метод.Накреслимо координатну площину у заданому масштабі, позначимо на ній точку прикладення сили. Проведемо в точціпряму, яка паралельна осі, та під кутом= 60°, проведемо лінію, вздовж якої діє сила. Позначимо на цій лінії вектор силиу зручному масштабі (рис. 3.3).

Із точкиопускаємо перпендикуляр на лінію дії сила, вимірюємо довжину плеча сили= 2,8 м та знаходимо алгебраїчне значення моменту= – 52·2,8 = –146 Н∙м, бо силанамагається повертати тіло відносно точкиза напрямом руху стрілки годинника.

Аналогічно знаходимо – момент цієї сили відносно точки. Вимірювання дають= 4,2 м. Тоді= +52·4,2 = +220 Н∙м, оскільки силанамагається повертати тіло відносно точкипроти руху стрілки годинника.

Аналітичні методи:

а) Запишемо рівняння прямої, що проходить через точкувздовж вектора сили

.

Тут та– координати точки, через яку проходить пряма лінія, а=tg – кутовий коефіцієнт прямої. В нашому випадку= 2,= – 5,=tg60° = = 1,73, тому рівняння прямої набуває вигляду

.

Визначимо момент сили відносно точки -початку координат. Для визначення плеча сили відносно початку координат отримуємо

= 4,23 м,

та знаходимо = + 52∙4,23 = 220 Н∙м. Беремо знак ”+”, бо силанамагається повертати тіло відносно точкипроти руху стрілки годинника.

б)Складемо матрицю (3.10) для визначення моменту сили відносно початку координат. Оскільки (рис. 3.4), та

= = 52·0,5 = 26 Н,

= = 52·0,866 = 45 Н,

= 0,

тоді .

Таким чином отримуємо

=== =(2·45 + 5·26) = 220H·м.

в) Теорема Варіньона для моменту сили відносно початку координат дає

= 26·5 + 45·2 = 220 Н∙м.

Тепер визначимо момент сили відносно точки В.

а)Відстань від точкидо цієї прямої (плече сили) знаходимо за формулою (3.13)

== 2,83 м.

Тому алгебраїчне значення моменту сили

= –52·2,83 = –147 H·м.

Знак ”–” беремо тому, що сила, яка прикладена до точки(2, -5), може викликати обертання тіла навколо точкиза напрямом руху стрілки годинника (рис. 3.5).

б) Скористаємось означенням моментусили.Обчислимо компоненти радіус-вектора :

= = 2 – 7 = – 5,

= = –5 – (– 2) = –3,

= 0.

Підставляючи ці дані отримуємо вирази для та :

=, =,

і знаходимо векторний добуток

=(–5·45 + 3·26) = –147H·м.

Отриманий результат вказує, що вектор напрямлений перпендикулярно площинівід нас (рис. 3.5).

в) Для знаходження моменту силивідносно точкиза допомогою теореми Варіньона знайдені компоненти силипомножаємо на відповідні плечі і знаходимо момент, як суму моментів кожного компонента (рис. 3.5)

=

= 26·3– 45·5 = –147 Н·м.

Відповідь:= 220H·м, вектор моменту сили відносно початку координат спрямований до нас (вздовж осі), а його величина становить 220 Н·м.= – 147H·м, вектор моменту сили відносно точкиспрямований від нас (проти осі), а його величина становить 147 Н·м.