§ 3. Момент сили відносно точки (центра)

Моментом сили відносно точки(центра) називається вектор, прикладений до цієї точки і рівний векторному добутку радіус–вектора, проведений з даної точкиу точкуприкладання сили на вектор сили

. (3.1)

Згідно з властивостями векторного добутку вектор перпендикулярний площині, в якій лежать векторита(рис. 3.1), а його модуль дорівнює

. (3.2)

Модуль моменту сили має максимальне значення , коли вектори перпендикулярні і дорівнює нулю коли вони паралельні, тобто лінія дії сили проходить через точку.

Момент сили вимірюється в ньютоно-метрах і повністю характеризує здатність сили викликати обертальній рух тіла відносно даної точки (центра):

- модуль вектора визначає величину обертальної дії,

- лінія дії сили та векторвизначають площину, у який можливе обертання тіла,

- положення та напрям вектора визначає вісь та напрям можливого обертання тіла.

Сила є ковзний вектор, тому момент сили відносно точки не змінюється при переміщенні точки прикладання сили вздовж лінії її дії, наприклад, коли силуперенести в точку(рис. 3.1).

Опустимо з точки перпендикуляр на лінію дії сили. Довжинуцього перпендикуляру

(3.3)

називають плечем силивідносно (центра) точки, тоді

. (3.4)

Отже, модуль моменту сили відносно точки (центра) дорівнює добутку сили на плече.

Чисельно момент сили відносно центра дорівнює подвоєній площі трикутника, побудованого на силі і центрі моменту

, (3.5)

бо для трикутника з основоюта висотоюдобутоквизначає його подвійну площу.

Якщо сили лежать в одній площині, то їх моменти відносно (центра) точки в цій площині будуть перпендикулярні до площини і спрямовані лише в двох протилежних напрямах. Тому для визначення напряму можливого обертання твердого тіла під дією сили навколо заданої точки замість вектора моменту використовують йогоалгебраїчне значення, тоді

. (3.6)

Отже, алгебраїчне значення моменту сили визначається добутком модуля сили на плече. Знак плюс береться, коли сила викликає обертання тіла навколо точкипроти напряму руху стрілки годинника і мінус – коли за напрямом руху стрілки годинника. Взаємна орієнтація векторівта, яка зображена на рис. 3.1), відповідає випадку.

Вкажемо інші способи знаходження модуля вектора моменту сили:

1) Розкладемо силу на дві взаємно перпендикулярні по відношенню до вектора складові: поздовжнюта перпендикулярну(рис. 3.2 а). Оскільки обертання навколо точкиможе викликати лише перпендикулярна складова, а її значення

, (3.7)

то

. (3.8)

Отже, алгебраїчне значення моменту сили відносно точки визначаєтьсядобутком модуля радіус-вектора на перпендикулярну до радіус-вектораскладову сили.

2) В площині, де лежать вектори тавведемо декартову систему координат, сумістивши початок координат з точкою О (рис. 3.2 б). Тоді момент сили зручно знаходити використовуючи теорему Варіньона. Для цього силу розкладають на складові таі визначають алгебраїчне значення моменту, як суму моментів, які створюють ці складові відносно точки (рис. 3.2 б)

=. (3.9)

Перший доданок беремо зі знаком “–” оскільки складова (яка має плече) намагається повертати тіло відносно точкиза рухом стрілки годинника та знак “+” для другого доданку, бо складова(яка має плече) намагається повертати тіло відносно точкипроти руху стрілки годинника.

3) На завершення знайдемо момент сили , скориставшись визначенням (3.1). Оскільки

,, (3.10)

то для моменту сили отримуємо

=, (3.11)

тобто момент сили напрямлений до нас, коли алгебраїчне значення моменту додатне , та від нас – коли.