Контрольні запитання

1. Яке тверде тіло називається гіроскопом?

2. Як поводить себе вільний гіроскоп у кардановому підвісі в інерціальній системі відліку.

3. Пояснить рух осі гіроскопа, закріпленого в одній точці, під дією зовнішніх сил.

4. Від чого залежить кутова швидкість прецесії гіроскопа?

5. Коли виникає гіроскопічний момент і як він спрямований?

6. Запишіть формулу для обчислення гіроскопічного моменту та поясніть її складові.

7. Як взаємно зорієнтовані вектори гіроскопічного моменту та вектор зміни моменту імпульсу гіроскопу?

8. Чому дорівнює гіроскопічний момент валу гвинта судна при наявності тільки бортової хитавиці?

Методика розв’язання задачі

1. По заданій кутовій швидкості обертання гіроскопа та його моменту інерції визначаємо напрям та величину моменту імпульсу.

2. Зміна орієнтації судна (змушеної прецесії) визначається вектором .

3. Напрям пари гіроскопічних сил тавизначаємо за правилом Жуковського.

4. Вектор гіроскопічного моменту та його модуль визначаємо за правилом векторного добутку:

=,

=.

5. Після цього визначаємо величину гіроскопічних сил та.

Приклад 1. Турбіна судна, яка розташована горизонтально та лежить у діаметральній площині судна (рис. 7.4), обертається з кутовою швидкістю= 200 рад/с. Загальний момент інерції турбіни=300кг·м², а відстань між підшипниками= 1,2 м. Знайти величини та напрями гіроскопічного моментуі сил (та), з якими вісь гіроскопа буде діяти на підшипники, в той момент, коли ніс судна піднімаючись проходить положення рівноваги (рис. 7.4). В процесі руху судно здійснює кільові коливання з амплітудоюта періодом30 c.

Вказати вектори: моменту імпульсу , зміни моменту імпульсу, гіроскопічний момент силта пару силта.

Розв’язання. Вектор моменту імпульсуспрямований вздовж вектора кутової швидкостітурбіни.

Закон зміни кута деферента судна має вигляд

,

тому для кутової швидкості судна при кільових нахилах отримуємо

.

В момент проходження положення рівноваги кутова швидкість досягає максимального значення, яке дорівнює

рад/с

Коли ніс судна піднімається, то векторспрямований перпендикулярно рисунку до нас (рис. 7.5). Отже, змінавектора моменту імпульсу турбіни буде спрямована на вертикально вгору (рис. 7.5).

Зміна моменту імпульсу згідно з теоремою Резаля викликає гіроскопічний момент , який визначаємо за формулою

=,

а його напрям визначаємо шляхом повороту вектора до вектораза найкоротшим шляхом (правило Жуковського). Він спрямований у вертикально вниз (рис. 7.6).

Звернемо увагу, що напрям вектора зміни моменту імпульсу турбіниза проміжок часумає напрям протилежний(рис. 7.6). Маючи на увазі, що вектори кутових швидкостей в нашому прикладі перпендикулярні, для модуль гіроскопічного моментуотримаємо

= 300·200·0,02 = 1200 Н·м.

Гіроскопічний момент створює пару силта ( –напрямлена до нас та– від нас), які діють на підшипники (рис. 7.6). Величина цих силтазв’язані з гіроскопічним моментом наступним чином

= = = 1200/1,2 = 1000 H.

Зауважимо, що величини сил тиску значні і двічі за період змінюють свій напрямок на протилежний, що зумовлює руйнування підшипників, а тому необхідно їх враховувати при розрахунках підшипників.

Через підшипники сили гіроскопічного тиску передаються корпусу судна, які в нашому випадку намагаються повернути корпус судна праворуч (рис. 7.6).

Відповідь: = 1200 Н·м,= =1000 H.

Приклад 2. Судно здійснює усталену циркуляцію на правий борт (рис. 7.7). Радіус циркуляції= 0,2 милі, а швидкість руху центра мас судна = 23 вузли.

Знайти момент гіроскопічних силта величину сил, що діють на підшипники гребного вала, якщо відстань між підшипниками= 3 м.

Загальний момент інерції гвинта та вала = 4000 кг·м², момент сили, яка передається на гвинт = 1050 кН·м, а коефіцієнти опору обертанні гребного вала= 10040 кг·м².

На двох рисунках (вид на горизонтальну та профільну площини) вказати вектори кутової швидкості обертання гвинта такутової швидкості зміни орієнтації судна, а також вектори моменту імпульсу, зміни моменту імпульсу, момент гіроскопічних силта пару сил ().

Розв’язання

Запишемо диференціальне рівняння обертального руху гвинта судна

.

З умови усталеного режиму роботи гвинта отримуємо

,

звідки знаходимо кутову швидкості обертання гвинта

рад/с.

Визначимо кутову швидкість зміни орієнтації судна при здійсненні циркуляції (рис. 7.7)

рад/с

У випадку циркуляції на правий борт вектор направлений вздовж вертикальної осі вниз у проекції на профільну площину (рис. 7.8). При зміні орієнтації осі відбувається зміна моменту імпульсу гвинта та вала(у нашому випадку цей вектор спрямований від нас у проекції на горизонтальну площину (рис. 7.9) і вгору у проекції на горизонтальну площину). Векторвикликають силита, що діють на вісь гіроскопа.

Виникаючий гіроскопічний момент дорівнює

= .

Напрям гіроскопічного моментувизначаємо шляхом повороту вектора до вектораза найкоротшим шляхом (правило Жуковського). Звернемо увагу, що напрям вектора зміни моменту імпульсу вала та гвинтаза проміжок часумає напрям протилежний(рис. 7.8 та 7.9). Маючи на увазі, що вектори кутових швидкостей в нашому прикладі перпендикулярні, визначаємо модуль гіроскопічного моменту

= 4000 10,23 0,032 = 1309 Н·м.

Гіроскопічний момент створює пару силтаз якими вал діє на підшипники (дивись проекцію на фронтальну площину). Сили, що діють на підшипники зв’язані з гіроскопічним моментом наступним чином

=== 1310/2 = 655 H.

Через підшипники сили гіроскопічного тиску тапередаються корпусу судна, які в нашому випадку намагаються викликати поворот корпуса судна довкола горизонтальний осі так, щоб підняти ніс та занурити корму.

Відповідь: = 1310 Н·м,= =655 H.

Зауважимо, що у випадку лівого повороту судна при такому ж напрямі виникає гіроскопічний момент протилежного напряму. У такому випадку сили гіроскопічного тискутабудуть намагаються викликати поворот корпуса судна довкола горизонтальний осі так, щоб занурити ніс.

Таким чином, гіроскопічні ефекти треба брати до уваги при управлінні судном. В залежності від напрямку обертання валу та гвинта і напрямку зміни орієнтації судна, в момент повороту судно набуває деферента на корму або на ніс.

Приклад 3. Визначити максимальний момент гіроскопічних сил та максимальну силу тиску на підшипники вісі сепаратора, що знаходиться на судні. В процесі руху судно здійснює бортові коливання з амплітудоюта періодом=18 c. Вісь сепаратора розташована вертикально, барабан має масу = 200 кг, радіус інерції = 0,8 м. Барабан обертається зі швидкістю= 9 000 об/хв, а віддаль між підшипниками =0,6 м (рис. 7.10).

На двох рисунках (вид на профільну та фронтальну площини) вказати вектори кутової швидкості обертання барабана сепаратора такутової швидкості зміни орієнтації судна при нахилі на правий борт, а також вектори моменту імпульсу, зміни моменту імпульсу, моменту гіроскопічних силта пару сил ().

Закон зміни кута крену судна має вигляд

,

тому для кутової швидкості судна при бортових коливаннях отримуємо

.

Оскільки вісь барабана сепаратора та вісь його змушених коливань взаємно перпендикулярні, то для моменту гіроскопічних сил отримуємо

.

З врахування виразу для моменту інерції барабана сепаратора

знаходимо

.

Тоді для сили тиску на підшипниках маємо:

,

З останніх виразів видно, що гіроскопічний момент та, відповідно, сила тиску на підшипники, мають максимальні значення в момент, коли судно проходить положення рівноваги.

Ці вирази дозволяють знайти максимальне значення моменту гіроскопічних сил

та максимальне значення для сили тиску на підшипники

Для того, щоб скористуватися останніми формулами, переведемо характеристики руху до системи СІ:

= 942 рад/с,

= 0,209 рад.

Підставляючи чисельні значення, отримуємо:

= 8792 Н·м,

= = 14653 Н.

Вектор гіроскопічного моменту лежить у горизонтальній площині і спрямований у правий чи лівий борт в залежності від напряму проходження положення рівноваги. На рис. 7.10 та 7.11 він вказаний для ситуації, коли судно нахиляється на правий борт.

Сили, що діють з боку осі барабана на підшипники лежать у вертикальній площині паралельний діаметральній площині судна і спрямовані вздовж горизонту. Зауважимо, що ці сили в даному прикладі в 7,5 раз більші за сили статичного тискуна упорний підшипник та кожні 9 секунд змінюють свій напрямок на протилежний, що може привести до руйнування підшипників.