§ 7. Гіроскопи. Гіроскопічний момент

Гіроскоп – це аксіально-симетричне тіло, приведене у швидке обертання навколо своєї осі симетрії. Такі пристрої досить широко використовуються в техніці, а прикладами можуть бути звичайна дзиґа, вал двигуна, гіростабілізатор тощо.

Знайдемо напрям руху осі гіроскопа, якщо до його осі прикласти силу . Гіроскоп „не слухається” нас, бо замість того, щоб рухатись за напрямком сили(на рис. 7.1 вздовж осі), він повертається в перпендикулярній доплощині. Така поведінка осі гіроскопа отримала назву гіроскопічного ефекту. Зауважимо, що якби гіроскоп не обертався, то під дією силийого вісь здійснювала рух (падіння) в напрямі дії сили.

Щоб пояснити поведінку гіроскопа скористаємося теоремою про зміну моменту імпульсу

. (7.1)

Отже, зміна моменту імпульсу гіроскопа (тобто орієнтації його осі) визначається не прикладеною силою, а моментом, який створює ця сила відносно точки закріплення. В нашому випадку прикладена сила створює момент

, (7.2)

який спрямований перпендикулярно рисунку і спрямований від нас (в напрямі, протилежному осі ).

Прецесія гіроскопа

Розглянемо спрощену теорію руху гіроскопа. Нахилимо вісь гіроскопа, який закріплений в точці та обертається з великою кутовою швидкістю, навколо власної осі. Відпустивши його, ми побачимо, що вісь гіроскопа почне повільно повертатися з кутовою швидкістюнавколо нерухомої вертикальної осі(рис. 7.2). Такий рух осі гіроскопа називаєтьсяпрецесією,

Причини такої поведінки осі гіроскопу наступні. Згідно з основним рівнянням обертального руху (7.1), вектор зміни моменту імпульсу спрямований у тому ж напрямі, що і вектор моменту зовнішніх силвідносно точки закріплення. Момент створює сила тяжіння

, (7.3)

і напрям моменту зовнішніх сил в кожний момент часу перпендикулярний як вектору силі тяжіння , так і вектору. Отож,в кожний момент часу (дивись рис. 7.2). Цей факт приводить до того, що вектор моменту імпульсу гіроскопупід дією сили тяжіння, не змінює свій модуль, а змінює тільки свою орієнтацію в кожний момент часу перпендикулярно осі симетрії гіроскопа. Отже, незакріплений кінець осі гіроскопа починає рух по колу, центр якого знаходиться на осі.

Кутову швидкість прецесії обчислюють за формулою

. (7.4)

Таким чином, кутова швидкість прецесії прямо пропорційна величині діючого моменту сил і обернено пропорційна величині моменту імпульсу гіроскопатане залежить від кута нахилу осі гіроскопа до вертикалі.Звернемо увагу, що кутова швидкість прецесіїобернено пропорційна власній кутовій швидкості обертаннягіроскопа.

Момент гіроскопічних сил

Тепер розглянемо гіроскоп, вісь якого закріплена. Визначимо взаємодію осі з підшипниками, коли змінюється орієнтація осі. При зміні орієнтації осі, яка відповідає рис. 7.3, відбувається зміна моменту імпульсу гіроскопа, яку викликають силита, що діють на вісь гіроскопа, як сили тиску, який здійснюють підшипникитана вісь гіроскопа при зміні її орієнтації.

Оскільки підшипники діють на вісь гіроскопа з силами татоді за третім законом динамікивісь гіроскопа буде діяти на підшипники таз такими ж за величиною силами та, які мають протилежний напрями.

Пару сил , називають гіроскопічною парою, а момент, який вони утворюють–гіроскопічний момент

де

- момент інерції гіроскопа,

- його кутова швидкість обертання,

- кутова швидкість (змушеної прецесії) повороту осі гіроскопа під дією зовнішніх сил.

Отже момент гіроскопічних сил дорівнює векторному добутку моменту імпульсу на вектор кутової швидкості.

Для визначення напряму моменту гіроскопічних сил зручно користуватися правилом Жуковського: якщо змінювати орієнтацію вісі гіроскопа (викликати змушену прецесію), то на підшипники, в яких закріплена вісь гіроскопа, буде діяти гіроскопічна пара з моментом, яка намагається найкоротшим шляхом встановити вісь гіроскопа паралельно вісі прецесії (вимушеного обертання), так, щоб вектора кутових швидкостейтаспівпали. (рис. 7.3).

Модуль моменту гіроскопічних сил знаходимо за формулою

,

Виникнення гіроскопічних сил при вимушеному повороті осей тіл, які обертаються з великими кутовими швидкостями, відіграє важливу роль в техніці.