§ 6. Динаміка обертального руху вала

Диференціальне рівняння обертального руху гребного гвинта разом з валом у водному середовищі має вигляд

, (6.1)

де – момент інерції гвинта та вала,– вектор кутової швидкості,- діючий обертальний момент,- момент сил тертя підшипників та - момент сил опору навколишнього середовища. Оскільки обертання вала, як правило, супроводжується виникненням турбулентного потоку, то момент сил опору навколишнього середовища пропорціональний квадрату кутової швидкості

, (6.2)

де - коефіцієнт опору навколишнього середовища, який залежить від властивостей середовища та форми гвинта, який насаджений на вал, а знак „–” вказує, що цей момент завжди гальмуючий.

Тоді у проекції на вісь обертання, яку спрямовуємо вздовж вектора початкової кутової швидкості , рівняння (6.1) з врахуванням (6.2) приймає вигляд

. (6.3)

Оскільки момент сил тертя у підшипниках практично не залежить від кутової швидкості обертання вала ,та при розгляді модельної задачі ми нехтуємо перехідними процесами, тобто, введемо поняття ефективного моментута перепишемо (6.3) у вигляді

. (6.3а)

Рівняння (6.3а) доповнюють початковими умовами: при = 0:,.

В залежності від значення та напряму ефективного моменту маємо різні ситуації:

– ефективний момент спрямований вздовж осі обертання;

– ефективний момент = 0, коли;

– ефективний момент .

Кожному значенню моменту сили > 0 відповідає перехідний процес зміни кутової швидкості (), який закінчується досягненням усталеного значення кутової швидкості

. (6.4)

В рівнянні (6.3а) можна розділити змінні

, (6.5)

та провести інтегрування з невизначеною верхньою межею

. (6.6)

З останнього ми отримуємо

=(6.7)

що дозволяє знаходити час як функцію кутової швидкості , або (після відповідних алгебраїчних перетворень) визначати кутову швидкість обертання вала як функцію часу.

Для визначення кількості обертів, яке здійснює вал протягом певного часу, можна взяти інтеграл від , але значно легше отримати результат, якщо скористуватися перетворенням

, (6.8)

в якому - кут повороту вала. Тоді з рівняння (6.3а) отримуємо

, (6.9)

що, за умовами (= 0:,), дозволяє визначити загальний кут повороту валапротягом зміни кутовоїшвидкості від початкової до заданої величини з наступного виразу

==. (6.10)

Отриманий результат дозволяє визначити кількість обертів вала як складну функцію часу =/.

Розглянемо окремо кожну з ситуацій: > 0,= 0 та< 0 . При зміні режиму роботи двигуна будемо нехтувати перехідними процесами, тобто будемо працювати в рамках моделі, коли ефективний момент змінюється миттєво від початкового значення = constдо кінцевого значення= const.

Методика розв’язання задач

1. Визначаємо моменти сил, які діють на гвинт з валом.

2. Записуємо диференціальне рівняння руху вала.

3. Визначаємо початкову усталену кутову швидкість обертання вала.

4. Розділяємо змінні та інтегруємо вираз, отримуючи час, як функцію початкової та кінцевої кутової швидкості. Якщо задана кінцева швидкість, то визначаємо час. У випадку, коли потрібно знайти кінцеву кутову швидкість вала за заданий проміжок часу, то проводимо алгебраїчні перетворення і отримуємо вираз та визначаємо величину кутової швидкості.

5. Для визначення кута повороту вала користуємося перетворенням

.

6. Розділяємо змінні та інтегруємо вираз і отримуємо вираз для кута повороту через початкову та кінцеву кутові швидкості.

Приклад.Гвинт разом з валом має моментом інерції= 10 000 кг·м²та обертається під дією ефективного моменту= 2000 Н·м з усталеною кутовою швидкістю. Коефіцієнт опору зовнішнього середовища= 30 кг·м².

В момент часу = 0 ефективного момент змінюють до значення= 4000 Н·м у напрямі обертання і двигун протягом часузмінює кутову швидкість до величини= 100 об/хв.

Після цього ефективний момент змінюють до значення = 0, вал обертається протягом часу= 30 с, і його швидкість змінюється до.

На останньому етапі до валу миттєво прикладається ефективний момент = – 1000 Н·м. Через який проміжок часу кутова швидкість вала зменшиться до= 30 об/хв?

На кожному етапі знайти невідому величину та кількість обертів

Розв’язання. Протягом першого проміжку часу ефективний момент має той же напрям, що і кутова швидкість вала, тому диференціальне рівняння його обертання має вигляд

.

Розділивши змінні, отримуємо

.

Після цього проводимо інтегрування з невизначеною верхньою межею

,

і отримуємо зв’язок між поточною кутовою швидкістю та часом

,

де – усталена кутова швидкість, яка відповідає початковому значеннюмоменту сили тяги, а– усталена кутова швидкість для нового моменту сили.

Алгебраїчні перетворення цієї формули дають вираз для залежності кутової швидкості від часу

.

Для того, щоб скористуватися останніми формулами знайдемо початкову усталену кутову швидкість вала:

= 8,16 рад/с,

усталену кутову швидкість вала для ефективного моменту сили = 4000 Н

= 11,55 рад/с,

та переведемо задану в рад/с

= 100·0,105 = 10,50 рад/с.

Нагадаємо, що кутова швидкість (рад/с) зв’язана з частотою обертання вала(об/хв) як

.

Після цього обчислимо час , протягом якого відбувається зміна кутової швидкості, та кількість обертів вала за цей час. Тоді отримуємо:

= 18,54 с.

Залежність для нашого прикладу наведена на рис. 6.1.

Для визначення кількості обертів, яке здійснює вал протягом цього часу скористуємось перетворенням (6.8)

Тоді диференціальне рівняння (6.3а) прийме вигляд

,

що дозволяє розділити змінні

,

і, за початковими умовами (= 0: = 0, ), дозволяє визначити кут повороту вала в процесі зміни його кутової швидкості

,

звідки після підстановки умов задачі обчислимо кут повороту вала та кількість обертів

= 176,8 радіан = 28,1 обертів.

Відповідь:= 18,54 с,= 28,1 обертів.

На другому етапі двигун ефективний момент дорівнює нулю і вал з гвинтом продовжує обертатися протягом часу = 30 с з початковою кутовою швидкістю= 10,50 рад/с. В цьому випадку гальмування валу відбувається за рахунок лише сили опору з боку навколишнього середовища тому диференціальне рівняння його обертання приймає вигляд

.

Це рівняння дозволяє розділити змінні

,

і його інтегрування в межах від 0 до та віддодає

,

звідки після алгебраїчних перетворень отримуємо

.

Підставляючи умови задачі обчислимо

= 5,4 рад/с = 51,4 об/хв.

Залежністьдля нашого прикладу наведена на рис. 6.2.

Для визначення кількості обертів, які зробить вал протягом цього часу скористуємось перетворенням (6.8). Тоді вихідне диференціальне рівняння набуває вигляду

,

що дозволяє розділити змінні

,

і, за початковими умовами (= 0:= 0,), дозволяє визначити кут повороту вала в процесі зміни його кутової швидкості

.

З останнього виразу після підстановки умов задачі обчислимо кут повороту вала та кількість обертів

= 221,8 радіан = 35,3 обертів.

Відповідь:= 51,4 об/хв,= 35,3 обертів.

< 0. При кутової швидкості обертання вала = 5,40 рад/с до валу з гвинтом прикладають ефективний момент= – 1000 Н·м, вектор якого спрямований проти вектора кутової швидкості вала і протягом часувал зменшує кутову швидкість обертання до=30об/хв. Знайдемо час, протягом якого це було здійснено та кількість обертів, які зробив вал за цей час.

Розв’язання. В цьому випадку гальмування вала відбувається як за рахунок опору навколишнього середовища, так і за рахунок ефективного моменту. Тому диференціальне рівняння обертання вала приймає вигляд

.

Інтегрування цього виразу дає зв’язок кутової швидкості і часу

,

чи

Визначення залежності кута повороту вала від кутової швидкості приводить до виразу

,

де - кутова швидкість вала на початку гальмування.

Підставимо наші дані в ці формули та отримаємо:

= 57,74·[0,752 – 0,499] = 14,57 с,

= 61,3 (рад) = 9,8 обертів.

Залежністьдля нашого прикладу наведена на рис. 6.3.

Відповідь: = 14,57 с,= 9,8 обертів.