Б) складний рух точки у просторі

Плоска фігура обертається за заданим законом навколо нерухомої осі, яка лежить у її площині, а точка рухається вздовж каналу, який знаходиться на фігурі. У даному випадку відносний та переносний рухи відбуваються у взаємно перпендикулярних площинах. Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки.

1. Визначення швидкості точки

1. Відносний рух точки. Знаходимо дугову координатуприта визначаємо положення точки у її відносному русі.

Знаходимо відносну швидкість

,

яка спрямована по дотичній до відносної траєкторії (якщо > 0, то в сторону зростання).

2. Переносний рух точки. Визначаємо радіус траєкторії переносного руху– віддаль від точкиу положеннідо вісі обертання.

Знаходимо переносну кутову швидкість

,

та визначаємо модуль переносної швидкості

.

Вектор знаходиться у площині, яка перпендикулярна осі обертання і спрямований перпендикулярнов сторону переносного руху.

3. Абсолютну швидкістьвизначаємо як векторну суму

,

та знаходимо її модуль

.

2. Визначення прискорення точки

1. Відносний рух точки. Визначаємо компоненти прискорення відносного руху:

,

,

де – радіус кривизни відносної траєкторії у точці, тоді

.

(У випадку прямолінійної відносної траєкторії = 0).

2. Переносний рух точки.

.

Визначаємо компоненти прискорення переносного руху. Знаходимо кутове прискорення

,

та знаходимо тангенціальне прискорення переносного руху

,

яке спрямоване перпендикулярно (вздовжколи знакитаоднакові, та протиколи знакитарізні).

Вектор спрямований до осі обертання (вздовж) і його модуль

.

3. Абсолютне прискореннязнаходимо за формулою

.

Величину вектора прискорення Коріолісавизначаємо за формулою

,

де – кут між векторамита. Напрям векторавизначаємо за правилом векторного добутку.

Модуль абсолютного прискорення знаходимо через проекції ,тавекторана зручні декартові осі координат

.

Приклад 3.Визначити абсолютні швидкість і прискорення точкина заданий момент часу = 2 c. Рівняння обертального руху обруча(рад), а точкарухається відносно тіла (по його ободу) згідно рівняння(см). В початковий момент часу точказнаходилась у точці(рис. 4.7), радіус обруча= 20 см. Положення точкина рис. 4.7 вказує додатній напрям.

Розв’язання. Відносно нерухомої системи відліку, пов’язаної з віссю обертання фігури (рис. 4.8), точказдійснює складний рух. Він складається з двох рухів: відносного – руху точки по ободу обруча і переносного – руху точки разом з обручем при його обертанні навколо нерухомої осі. Ці рухи здійснюються у взаємно перпендикулярних площинах.

Для відображення майбутніх результатів введемо декартову систему координат : спрямуємо вісьугору вздовж осі обертання і зафіксуємо положення обруча на час = 2 c в площині(рис. 4.8).

1. Визначення швидкості точки

1. Відносний рух точки. Положення точкина обручі в певний момент часу визначається підстановкою конкретного часу в рівняння відносного руху

= 20,9 см.

Це значить, що точка знаходиться у верхній частині обруча, описавши дугу з центральним кутом

відносно початкового положення (рис. 4.8).

Модуль відносної швидкості знайдемо, якщо візьмемо похідну від за часом

=,

що для часу = 2 c дає = 83,7 см/с = 0,837 м/c. Оскільки0, то векторспрямований в сторону зростання дугової координати (рис. 4.8).

2. Переносний рух точки. Визначимо кутову швидкість переносного руху, взявши відповідні похідні від закону обертання і підставимо в отримані вирази час = 2 c

= – 11 рад/с.

Нагадаємо, що знак мінус перед величиною переносної кутової швидкості означає, що тіло обертається за стрілкою годинника якщо дивитися з додатного напрямку осі z, що вказано на рис. 4.8.

Віддаль точки від осі обертання визначимо з геометричних міркувань (рис. 4.8)

= 0,1 м.

Модуль переносної швидкості знайдемо, помноживши кутову швидкість переносного руху ω_е на віддаль KM

v_e = = 1,10 м/с.

Вектор переносної швидкості , згідно з напрямом обертання обруча, направлений перпендикулярно площині обруча паралельно осіх.

3. Абсолютна швидкість точкиМ знаходимо з виразу

=+.

Оскільки тавзаємно перпендикулярні, то модуль абсолютної швидкості точкиМ визначається за теоремою Піфагора

= 1,38 м/с.