Контрольні запитання

1. Які системи відліку називаються неінерціальними? Чи виконується в таких системах відліку закони Ньютона?

2. Запишіть другий закон Ньютона для відносного руху. Наведіть приклади, коли він проявляється. Чим зумовлена поява сил інерції в рухомій системі?

3. Як визначається сила інерції в неінерціальній системі відліку, що рухається поступально?

4. Яка сила інерції виникає в системі відліку, що здійснює обертальний рух зі сталою кутовою швидкістю, якщо тіло в цій системі нерухоме?

5. Які сили інерції виникають в системі відліку, що здійснює нерівномірний обертальний рух, якщо тіло в цій системі нерухоме?

6. Чому дорівнює переносна сила інерції? В яких випадках вона дорівнює нулю?

7. Поясніть причину виникнення сили інерції Коріоліса.

8. Чому дорівнює сила інерції Коріоліса? В яких випадках вона дорівнює нулю?

9. В якому випадку диференціальні рівняння відносного та абсолютного руху точки співпадають?

10. Які сили інерції проявляються в умовах Землі?

11. Як повинно рухатися судно з незмінним значенням швидкості, щоб сила інерції Коріоліса дорівнювала нулю?

12. Як повинно рухатися судно з незмінним значенням швидкості, щоб сила інерції Коріоліса була максимальною?

Методика розв’язання задач

1. Визначити з умов задачі яке з тіл є переносником, а яке рухається по ньому.

2. Умовно зупинити рух переносника та визначити особливості траєкторії відносного руху, положення рухомого тіла та його швидкість в даний момент часу.

3. Умовно зупинити відносний рух тіла в заданий момент часу та визначити особливості траєкторії переносного руху, прискорення тієї точки переносника, в якій знаходиться рухоме тіло в даний момент часу, та відповідні складові сил інерції.

4. Якщо ≠ 0 та≠ 0, визначити силу інерції Коріоліса.

5. За правилами складання векторів визначити силу інерції.

6. Записати рівняння відносного руху точки та знайти його розв’язок.

Приклад 1. Горизонтальна трубкапочинає обертатися навколо вертикальної осі (рис. 4.3) за законом(рад). Одночасно механізмМмасою= 0,2 кг починає рух вздовж трубки за законом відносного руху = ОМ=(см). Вважаючи механізм матеріальною точкою, визначити сили інерції, які діють на нього на момент часу= 2 c та зобразити їх на рисунку. Записати рівняння відносного руху матеріальної точкиМ.

В цей момент двигун механізму відключають, а момент зовнішніх сил забезпечує рівномірне обертання системи (трубка та механізм) з досягнутим значенням кутової швидкості. Знайти закон руху механізму по трубі, нехтуючи силами тертя.

Розв’язання. Рівняння відносного руху механізму

, (1)

в якому - сила тяги механізму. В даному випадку сили інерції, що діють на механізмв неінерціальній системі, зумовлені як обертальним рухом трубки, так і відносним рухом точки по ньому. Таким чином, при визначенні сил інерції спочатку враховуємо дві складові, які пов’язані з обертанням трубки

, (2)

та силу інерції Коріоліса

. (3)

Отже рівняння (1) приймає вигляд

. (4)

Для знаходження сил інерції, згідно рівнянням (3) та (4), нам треба визначити положення механізму (тобто знайти), його відносну швидкість, кутову швидкістьта кутове прискоренняобертання трубки.

Знайдемо положення механізму Мв трубці в даний момент часу, підставляючи цей час в рівняння його відносного руху

= ОМ= 4·2²= 16 см.

Таким чином, вектор відносного положення механізмуМспрямований вздовж трубки та має модуль 16 см (рис. 4.4 а – вид на горизонтальну площину, рис. 4.4 б - вид на фронтальну площину).

Знайдемо відносну швидкість механізмуМяк першу похідну від рівняння відносного руху за часом

= =.

Для моменту часу = 2 с отримаємоv_r= 16 см/с і зображаємо на рис. 4.4 а, б.

Кутову швидкість обертального руху диску знайдемо як першу похідну кута повороту диска за часом

= ,

і, підставляючи = 2 с, отримуємо

= 3·2²– 8·2 = – 4 рад/с.

Від’ємне значення кутової швидкості означає, що обертання трубки здійснюється за рухом стрілки годинника і вектор кутової швидкості напрямлений від нас перпендикулярно площині рисунка, що зображено на рис 4.4 а, б.

Кутове прискорення обертального (переносного) руху ε_езнайдемо як похідну по часу від кутової швидкості

=,

що, після підстановки вказаного моменту часу, дає

= 4 рад/с².

Додатне значення кутового прискорення вказує, що вектор кутового прискорення диску напрямлений до нас перпендикулярно площині рисунка(див. рис. 4.4), тобто швидкість обертання на даний момент часу сповільнюється.

Визначаємо модулі всіх сил інерції. Оскільки ,, та, послідовно знайдемо модуль обертальної сили інерції

= 0,2·4·0,16 = 0,128 Н, (5)

модуль відцентрової сили

= 0,2·4²·0,16 = 0,512 Н, (6)

та модуль сили інерції Коріоліса

= 2·0,2·4·0,16·1 = 0,256 Н. (7)

Напрями всіх сил інерції визначимо за правилами визначення напряму вектора при векторному добутку складових та вкажемо їх на рис. 4.4.

Запишемо тепер рівняння (4), яке описує відносний рух механізму у наступні моменти часу. Оскільки на механізм сила тяги перестала діяти, тобто = 0, а рух точки здійснюється лише вздовж прямої, то рівняння (4) відносного руху в проекції на вісь(рис. 4.5) набуває вигляду

.

Розв’язуємо дане диференціальне рівняння де кутова швидкість стала і дорівнює= 4 рад/с з початковими умовами для нового початку відліку часу (t = 0c):= 16 см та= 16 см/с.

Складаємо характеристичне рівняння:

= 0.

Корені цього рівняння будуть , тому загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд

.

Сталі інтегрування тазнаходимо з початкових умов: спочатку визначимо швидкість точки

,

тоді отримуємо маємо систему рівнянь:

,

,

звідки знаходимо:

,,

що з врахуванням умов задачі дає:

= 0,1 м,= 0,06 м.

Отже

м.

Відповідь: у момент часу= 2 с:= 0,128 Н,= 0,512 Н,= 0,256 Н; після цього (з новим відліком часу) точка рухається за закономм.

Приклад 2. Розрахунок сил інерції.

Точка рухається вздовж обруча за законом (см),а рівняння обертального руху обруча(рад). Знайти значення сил інерції, що діють на точкуМу заданий момент часу = 2 c (рис. 4.6), якщо радіус обручаR= 30 см, а маса точки= 0,5 кг.

Розв’язання.Нерухому систему відліку жорстко зв’яжемо з поверхнею Землі і вважаємо її інерціальною. Введемо рухому декартову систему координат, спрямувавши вісьвздовж осі обертання догори а вісьдо нас (рис. 4.7).

Оскільки рухома система здійснює обертальний рух навколо фіксованої осі, то для переносної сили інерції маємо

.

Для обчислення записаних величин, знаходимо положення точки М на обручі

см,

отже точкаМзнаходиться у верхній частині обруча, а кут= (рис. 4.7)

Для визначення величин відцентровоїта обертальноїсил інерції, знайдемо кутову швидкість та кутове прискоренняобертального руху обруча за формулами:

,

,

які для = 2 c дають:

= – 5 рад/с, = – 12 рад/с².

Оскільки 26 см, тодля модулів відцентрової та обертальної сил інерціїзнаходимо:

= 3,25 Н,

= 1,56 Н,

а напрями сил інерції: відцентрової (вздовж осі) та обертальної(проти напряму осіх) зображаємо на рис. 4.7.

Оскільки точка рухається по обручу, який здійснює обертальний рух, то виникає сила інерції Коріоліса

=.

Модуль відносної швидкості знайдемо, якщо візьмемо похідну від за часом

,

що в заданий момент часу t₁ = 2 c дає = 0,071 м/c, а напрям відносної швидкості співпадає з дотичною до траєкторії відносного руху механізму в точціМ(рис. 4.7).

Модуль сили інерції Коріоліса знаходимо з виразу

.

Кут між тастановить 150°, отже

ïï= 2 · 0,5 · 5 · 0,071 · 0,5 = 0,18 Н.

Напрям вектора сили інерції Коріоліса визначається за правилом векторного добутку векторів , тому векторперпендикулярний до векторівкутової переносної швидкості та відносної лінійної швидкості і спрямований перпендикулярно площині рисунку (рис .4.7) до нас (вздовж осіх).

Відповідь:= 3,25 Н і спрямована вздовж осі;=1,56 Н і спрямована проти напряму осі;= 0,18 Н і спрямована вздовж осі.