В) Змушені коливання з одним ступенем свободи

Якщо на матеріальну точку масою , крім квазіупружної силита сили в’язкого тертя, діє збурювальна (зовнішня) сила, яка змінюється за гармонічним законом

, (5.22)

(де – амплітуда збурювальної сили,– її частота), то рух, який буде здійснювати точка, називається змушеними коливаннями.

Складемо диференціальне рівняння руху такого тіла масою

, (5.23)

де , аітакі ж самі, як і раніше (дивись формулу (5.10)).

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (5.23), як відомо з теорії диференціальних рівнянь, має вигляд

, (5.24)

де – загальний розв’язок однорідного рівняння (5.23) нам вже відомий (дивись формулу (5.16)), отож

, (5.25)

а – будь-який частковий розв’язок неоднорідного рівняння (5.23).

З плином часу амплітуда руху, зумовленого вільними коливаннями при наявності сил тертя, згідно (5.16) зменшується практично до нуля, і рух тіла буде визначатися лише зовнішньою силою (5.22). Час установлення режиму вимушених коливань визначається величиною коефіцієнта демпферування і через проміжок часуможна розглядати лише усталені змушені коливання для яких початкові умови вже не мають ніякого значення.

Отож, частковий розв’язок рівняння (5.23) знаходять у вигляді

, (5.26)

де сталі таотримують після підстановки функції (5.26) та її похідних в рівняння (5.23) та певних алгебраїчних перетворень:

, (5.27)

. (5.28)

Таким чином, амплітуда і фаза змушених коливань при наявності тертя визначаються як властивостями зовнішньої сили (частотою та її амплітудою), так і характеристиками осцилятора (його масою, жорсткістюта коефіцієнтом демпфірування)і не залежать від початкових умов.

Величина , яка входить до розв’язку (5.26) зветьсязсувом фазі визначає різницю між фазою коливань і фазою зовнішньої сили (5.22) в даний момент часу.

Залежність амплітуди змушених коливань від частоти зовнішньої сили називається амплітудно-частотною характеристикою, а залежність зсуву фаз від частоти зовнішньої сили –фазово-частотною характеристикою.

При = 0 (зовнішня сила стала за величиною) значенню амплітуди відповідає статичне зміщення

. (5.29)

Якщо , то0 за закономзгідно формулі (5.27).

Максимальна величина амплітуди відповідає так званій резонансній частоті яка може бути знайдена з умови мінімуму знаменника формули (5.27)

. (5.30)

Таким чином, при >на залежностііснує максимум, який називається резонансною амплітудою. Підставляючи отримані вирази в (5.27), отримаємо вираз для амплітуди при резонансі

. (5.31)

Звернемо увагу на те, що, взагалі <, але при<<резонансна частота практично співпадає з частотою власних коливань. Так, вже при= 0,1,= 0,995.

Відмітимо, що при зростанні одночасно зменшуються як резонансна частота, так і амплітуда коливань при резонансі.

Що стосується зсуву фаз, то з формули (5.28) випливає, що незалежно від коефіцієнта демпферування при резонансі зсув фаз.

Аналізувати амплітудно-частотну криву зручно в безрозмірних значеннях амплітуди, частотита параметра згасання. Тоді з формул (5.27) та (5.29) отримуємо вираз для відносної (безрозмірної) амплітуди

. (5.32)

Резонансу відповідає значення безрозмірної частоти

, (5.33)

при якій відносна амплітуда досягає значення

. (5.34)

Зауважимо, що, оскільки 1 для< 0,1, тоі в реальних ситуаціях резонансна амплітуда коливань може у десятки разів перевищувати статичне зміщення.