Б) Вільні згасаючі коливання з одним ступенем свободи

Розглянемо одномірний рух тіла вздовж вісі у в’язкому середовищі (рідині або газі). При незначних швидкостях руху тіла сила опору пропорційна швидкості, тобто

, (5.8)

тут – коефіцієнт опору середовища. Тоді диференціальне рівняння згасаючих коливань буде мати вигляд

, (5.9)

в якому:

,. (5.10)

Коефіцієнт називається відносним коефіцієнтом демпферування коливань. Зауважимо, що розмірностітаоднакові (с^–1), що дозволяє порівнювати їх між собою. Диференціальному рівнянню другого порядку (5.9) відповідає характеристичне рівняння

, (5.11)

корені якого мають вигляд

. (5.12)

Співвідношення між коефіцієнтом демпфірування та власною круговою частотою коливаньвизначають характер руху тіла. Розглянемо випадок<, який відповідає незначним силам тертя в порівнянні з середнім значенням пружної сили. Тоді корені характеристичного рівняння будуть комплексними

, (5.13)

де

, (5.14)

визначає кругову частоту коливань. Дійсна частина коренів (5.13) від’ємна, тому загальний розв’язок рівняння (5.9) буде мати вигляд

, (5.15)

де та– сталі інтегрування. За допомогою перетворень Ейлера (5.15) можна звести до вигляду

. (5.16)

Початкові амплітуда та фазавизначаються початковими умовами і ми знаходимо їх аналогічно тому, як для вільних коливань:

, (5.17)

,= 0; 1. (5.18)

Коливання, що відбуваються за законом (5.16) називаються згасаючими, бо присутність коефіцієнта при амплітуді коливань зумовлює поступове зменшення максимального відхилення тіла від положення рівноваги з плином часу і до зникнення коливань. Отже рух точки можна розглядати як гармонічне коливання з круговою частотоюта амплітудою, яка змінюється за законом

. (5.19)

Таким чином, після кожного періоду часу , послідовні відхилення від положення рівноваги створюють геометричну прогресію зі знаменником, який називається декрементом згасання, а величина

(5.20)

називається логарифмічним декрементомзгасаючих коливань.

В випадку >корені характеристичного рівняння (5.11)табудуть дійсними та від’ємними, а точка буде здійснювати аперіодичний згасаючий рух за законом

, (5.21)

вякому сталітавизначаються початковими умовами. Графіки залежності зміщенняпри>для різних комбінацій початкових умов приведені на рис. 5.3.

Зауважимо, що явище аперіодичного руху використовується в демпферних пристроях.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте умови виникнення згасаючих коливань.

2. Запишіть диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань. Що необхідно знати для однозначного розв’язку такого рівняння?

3. Як отримати розв’язок такого рівняння?

4. Запишіть розв’язок диференціального рівняння вільних згасаючих коливань.

5. Що таке амплітуда коливань? За яким законом змінюється амплітуда коливань? Що визначає декремент згасання?

6. Від чого залежить період (частота) коливань? Як впливає сили тертя на частоту (період) коливань?

7. Коли виникають аперіодичні коливання? Яке застосування таких процесів Ви знаєте?

Методика розв’язання задач така ж сама, як попередньому випадку

Приклад.Знайти рівняння коливань тіла масою= 0,6 кг, яке прикріплене до двох послідовно з’єднаних пружин жорсткістю= 150 Н/м та = 100 Н/м (рис. 5.4) якщо сила опору, а початкові умови= 0,2 м,= 2 м/с.

При послідовному з’єднанні пружин сумарне зміщення вантажу (розтягнення двох пружин) є сумою їх розтягнень (окремих зміщень від початкового положення)

,

тому

,

і, оскільки

,

то для визначення ефективної жорсткості системи пружин отримуємо

= 150·100/250 = 60 Н/м.

Під дією сили тяжіння пружини будуть деформуватися, а величина статичної деформації може бути знайдена з умови

,

звідки

= 0,6·10/60 = 0,1 м.

Відносно цього положення, яке в подальшому вважаємо початком відліку х – координати, будуть здійснюватися коливання. В нашому випадку кругова частота становить

== 10 рад/с.

а значення величини

= 0,5 с^-1.

Оскільки виконується умова < , то

,

де

= 9,99 рад/с,

що дозволяє визначити період коливань

= 0,629 с,

і ми отримуємо рівняння згасаючих коливань у вигляді

.

Знайдемо величини таз початкових умов. Спочатку знайдемо вираз для швидкості (взявши похідну від зміщення)

,

після чого скористуємось початковими умовами і отримаємо:

= 0,2 =,

= 2,0 =.

Розв’язуючи цю систему рівнянь відносно і, отримаємо:

= 0,76 рад. та= 0,3 м.

Знайдені значення тазадовольняють початковим умовам

= 0,2 м =,

= 2,0 м/с =,

Таким чином, остаточно рівняння коливань приймає вигляд

м.

Графік цих коливань приведено на рис. 5.5.

Дослідимо максимальні відхилення, які відповідають моментам часу,,і переконаємося, що

= … == 0,73

тобто утворюють геометричну прогресію зі знаменником 0,73.

Відповідь:м.