Розділ ііі. Динаміка

Динаміка є частиною теоретичної механіки, в якій вивчається рух тіл як результат їх взаємодії. Основи динаміки були закладені Ньютоном, який узагальнив накопичені до нього досліди по руху тіл і сформулював три основні закони механіки, які відомі з курсу фізики.

Динаміку розділяють на дві частини: динаміку матеріальної точки, де вивчають рух тіла, розмірами якого можна нехтувати в конкретній задачі тадинаміку механічної системи – сукупності матеріальних точок, положення та рух кожної з яких залежить від положення та руху усіх останніх.

Частина і. Динаміка точки § 1. Пряма задача динаміки

Пряма(перша) задача динаміки – визначити рівнодійну сил, що діють на матеріальну точку, якщо відома її масата закон руху.

1. Якщо закон руху матеріальної точки задано векторним способом

, (1.1)

який еквівалентний трьом скалярним рівнянням:

,,, (1.2)

то задача розв’язується однозначно шляхом подвійного диференціювання рівнянь руху.

Дійсно, швидкість визначиться як перша похідна закону руху за часом, а прискорення – як друга похідна. Тоді для визначення силиотримаємо

. (1.3)

2. Якщо закон руху матеріальної точки масоюзадано у натуральній формі, то задачарозв’язується однозначно шляхом диференціювання закону руху.

Дійсно, визначивши та, можна знайти проекції рівнодійної сили, що діють на точку (рис. 1.1), на натуральні вісі (дотичну, головну нормальта бінормаль) з наступних рівнянь:

, (1.4)

,

(тут - радіус кривизни траєкторії).

З останнього рівняння випливає, що сила , під дією якої рухається матеріальна точка, лежить в стичній площині, яка дотична до траєкторії точки. Модуль силита її напрям (кутз дотичною до траєкторії руху – рис. 1.1) знаходимо з формул:

, (1.5)

. (1.6)

Контрольні запитання

1. Сформулюйте перший закон Ньютона. Наведіть приклади.

2. Які системи відліку називаються інерціальними?

3. Сформулюйте принцип відносності Галілея.

4. Яка фізична величина є мірою інертності тіла?

5. Якою фізичною величиною характеризується зміна стану спокою або руху тіла зі сталою швидкістю?

6. Сформулюйте другий закон Ньютона.

7. Сформулюйте третій закон Ньютона.

8. Сформулюйте першу задачу динаміки. Як вона розв’язується коли закон руху матеріальної точки задано векторним (координатним) способом?

9. Як розв’язується перша задача динаміки коли рівняння руху матеріальної точки задано у натуральній формі?

Методика розв’язання прямої задачі динаміки

1) Послідовно знаходимо першу та другу похідні закону руху за часом.

2) Використовуємо другий закон Ньютона і знаходимо силу за відомою масою точки.

Приклад 1. Визначення сили, колизаданий закон руху матеріальної точки.

Тіла масою 1 кг піднімається по похилій площині (рис. 1.2) під дією силиза законом(м). Знайти вираз для сили, яка забезпечує рух, якщо= 20°,= 30°, коефіцієнт тертя= 0,2. Визначити значення сили у момент часу= 2 с.

Розв’язання.До тіла прикладені зовнішня сила, вага, сила тертята нормальна реакція(рис. 1.3). Нормальна реакціяспрямована перпендикулярно похилій площині, а сила тертяв сторону протилежну руху тіла.

Запишемо диференціальне рівняння руху тіла

.

Введемо декартову систему координат, спрямувавши вісь паралельно похилій площині в напрямі руху, вісь– перпендикулярно до неї.

Спроектуємо попереднє векторне рівняння руху на декартові вісі:

, (1)

. (2)

З останнього рівняння знаходимо

, (3)

що дозволяє визначити силу тертя

. (4)

Знаходимо послідовно першу та другу похідну від закону руху

,

і підставляємо у диференціальне рівняння руху (1).

Тоді отримуємо з врахуванням (4)

.

З останнього знаходимо вираз для сили на будь-який момент часу

. (5)

Підставляючи дані задачі, знаходимо величину сили у момент часу = 2 с.

Н.

Відповідь:= 8,3 Н.

Приклад 2. Визначення сили, коли закон руху матеріальної точки задано натуральним способом.

Знайти силу, яка діє на матеріальну точку масою = 4 кг, що рухається по колу радіуса= 3 м за законом(м).

Розв’язання.Послідовно знайдемо першу та другу похідні закону руху за часом. Перша похідна дає

м/с,

що дозволяє визначити нормальну складову сили

= 4·= 12·Н.

Знаходимо другу похідну

м/с²,

та визначаємо дотичну складову сили, яка діє на матеріальну точку (рис. 1.4)

= 24Н.

Модуль результуючої сили обчислимо за теоремою Піфагора

==Н,

а тангенс кута між силою та дотичної до кола обчислимо за формулою (1.6)

.

Відповідь:=Н,.