Б) визначення прискорень точок

Для визначення прискорення довільної точки твердого тіла при плоскому русі візьмемо похідну від правої та лівої частин векторного рівняння (3.2), що визначає швидкість довільної точки плоскої фігури

, (3.7)

звідки з врахуванням (виразу для швидкості точкив її обертальному русі разом з плоскою фігурою навколо цього полюсаА) отримуємо

, (3.8)

де – вектор кутового прискорення плоскої фігури.

Введемо позначення:

=, (3.9)

=, (3.10)

Вектори івизначають відповідно тангенціальне і нормальне прискорення точкипри обертальному русі фігури навколо полюса(рис. 3.14). Вектор нормального (доцентрового) прискореннязавжди напрямлений від точкидо полюсу (точкив нашому прикладі). Вектор тангенціального (обертального) прискорення, перпендикулярний доі напрямлений по вектору швидкостіобертального руху точкинавколо полюса, коли обертальний рух прискорений та проти цієї швидкості, коли рух сповільнений. Векторна сума цих двох доданків є прискоренням точкипри обертанні фігури навколо полюса

. (3.11)

Вектори івзаємно перпендикулярні, тому модуль прискорення обертального руху

=. (3.12)

Отже, прискорення довільної точки () плоскої фігури дорівнює векторній сумі прискорення полюсаі прискорення точки() в її обертальному русі навколо полюса

. (3.13)

Контрольні запитання

1. Як знайти прискорення довільної точки плоскої фігури?

2. Як спрямовані тангенціальне () та нормальне прискорення (), які має довільна точкаплоскої фігури внаслідок обертання навколо полюсу, відносно напряму на полюс?

3. Що можна сказати про кутову швидкість плоскої фігури, коли прискорення точки (полюса) дорівнює нулю, а повне прискорення точкинапрямлене вздовж прямої?

4. Як напрямлене прискорення точки , якщо плоска фігура:

а) обертається з постійною кутовою швидкістю, а прискорення точки (полюса) напрямлене вздовж прямої?

б) здійснює миттєво поступальний рух, а прискорення точки (полюса) напрямлене перпендикулярно до прямої?

Методика розв’язання задач

1. Знаходимо кутову швидкість та МЦШ ланки, що здійснює плоский рух.

2. Обираємо на цій ланці полюсом точку (), тангенціальне () і нормальне () прискорення якої можна однозначно знайти з умов задачі, визначаємо модулі і напрями цих прискорень та вказуємо ці вектори на схемі механізму.

3. Нормальне прискорення довільної точки , яка здійснює обертальний рух навколо полюса обчислюємо як

, (1)

і також креслимо його на схемі.

4. Якщо відстань від полюса до МЦШ не змінюється з часом, то послідовно виконуємо наступні операції:

4.1. Диференціюючи вираз для лінійної швидкості точки за часом отримуємо

,

де - відстань від полюса до МЦШ.

З останнього виразу знаходимо кутове прискорення ланки АВ

. (2)

4.2. Обчислюємо модуль тангенціального прискорення довільної точки , яка здійснює обертальний рух навколо полюса

, (3)

і зображаємо цей вектор.

4.3. Для знаходження повного прискорення точки складаємо вектори,,та

. (4)

Обравши зручну систему координат знаходимо його модуль та напрям.

5. Якщо пункт 4 не виконується, то на ланці, що здійснює плоский рух, знаходимо точку (), яка рухається прямолінійно вздовж заданих направляючих (наприклад, на поршні, що рухається вздовж стінок циліндру) і виконуємо наступні операції:

5.1. Перпендикулярно до , креслимо вектор тангенціального прискорення- дійсний напрямвизначимо після розв’язання задачі..

5.2. Обираємо зручну декартову систему координат, одну з осей якої (наприклад, вісь ) проводимо вздовж лінії руху точкита проектуємо вектори,,тана ці осі.

5.3. З умови відсутності руху точки вздовж осі(перпендикулярно до направляючих) відповідно до векторного рівняння (4) отримуємо алгебраїчне рівняння

= 0, (5)

де – кут між векторомта віссю, а– кут між векторомта віссю. З рівняння (5) отримуємо вираз

==, (6)

звідки знаходимо . Якщо, то це значить, що наше припущення про його напрям є вірним.

5.4. Модуль кутового прискорення ланки АВ знаходимо з рівняння

=. (7)

5.5. Після цього знаходимо повне прискорення точки

. (8)

5.6. Отримане значення використовуємо для знаходження прискорення інших точок ланки.

Приклад 1. Визначення прискорень точок колеса, яке котиться по нерухомій поверхні.

Колесо, яке складається з двох циліндрів, що мають спільну вісь, котиться без ковзання малим циліндром по горизонтальній нерухомій рейці зі швидкістю = 1,0 м/с та прискоренням =– 2 м/с². Зовнішній радіус колеса= 30 см, внутрішній –= 20 см (дивись рис. 3.15). Знайти кутове прискорення колеса та лінійні прискорення точок,та. Всі вектори вказати на схемі.

Розв’язання.Скористуємось тим, що в прикладі 1 (у пункті а) даного параграфа) ми визначили положення МЦШ (точка) та кутову швидкість колеса

= 5,0 рад/с.

На даний момент часу тіло здійснює обертальний рух навколо точки , тому. При коченні колеса по рейці відстаньне змінюється, тому після диференціювання цього виразу отримуємо

,

і знаходимо кутове прискорення колеса

= 2/0,2 = 10 рад/с².

Оберемо за полюс точку , для якої нам відоме повне прискорення. Тоді для прискорення точкимаємо

.

Модулі тангенціального та нормального прискорень, які має точка внаслідок обертального руху навколо точки,знаходимо за формулами:

== 10,0 ·0,3 = 3 м/с²,

== 5,0²·0,3 = 7,5 м/с².

З урахуванням напрямів, накреслимо ці прискорення на рис. 3.16.

Щоб знайти модуль повного прискорення точки, введемо прямокутну систему координат , та знайдемо компоненти повного прискорення точкина вказані вісі:

= 2 + 7,5 = 9,5 м/с²,

= 3 м/с².

Модуль повного прискорення точки знайдемо як

= 10 м/с².

Модулі тангенціального та нормального прискорень, які має точка при обертанні навколо точки, знаходимо аналогічно тому, як для точки, оскільки, то:

== 10,0 ·0,3 = 3 м/с²,

== 5,0²·0,3 = 7,5 м/с²,

а їх напрями вказані на рис. 3.16

Щоб визначити модуль повного прискорення знайдемо такомпоненти повного прискорення точки(рис. 3.16):

= 2- 3 = – 1 м/с²,

= 7,5 м/с²,

що дозволяє знайти модуль повного прискорення точки

= 7,6 м/с².

Відповідь:= 10 м/с², = 7,6 м/с², = 10 рад/с².

Прискорення точки знайдіть самостійно.

Приклад 2. Визначення прискорень точок кривошипно-шатунного механізму

Знайти кутове прискорення ланки та лінійні прискорення точок , для механізму, який зображено на рис. 3.17 за наступних умов:= 30 см,= 75 см,= 45 см,=4 рад/с,= 6 рад/с².

Розв’язання.На ланці, яка здійснює плоский рух, знаходиться точка, яка здійснює обертальний рух навколо точки. Користуючись тим, що кутова швидкістьта кутове прискореннязадані, визначимо модулі тангенціального та нормального прискорень точки:

= ·= 6·0,3 = 1,8 м/с²,

= ·= 16·0,3 = 4,8 м/с²,

та оберемо точку полюсом (рис. 3.18) .

Кутову швидкість ланки ми визначили у прикладі 2. Для визначення кутового прискорення ланкизнайдемо на ній точку, яка рухається прямолінійно. Такою точкою є точка, яка рухається вздовж стінок циліндра. Введемо декартову систему координат, спрямувавши вісь вздовж направляючих – стінок циліндру - (рис. 3.18). Тоді прискорення точки(векторна сума прискорення точкита тангенціального і нормального прискорень точкивнаслідок обертання навколо точки)

,

буде спрямовано вздовж вісі (рис. 3.18).

Нормальне прискорення точки внаслідок обертання навколо точкиА спрямоване до точки і його модуль визначимо за формулою

= · = (2,3)²·0,75= 4 м/с².

Для того, щоб знайти кутове прискорення ланки таприскорення точки будемо вважати, що тангенціальне прискорення точкивнаслідок обертання навколо полюсуспрямоване за рухом стрілки годинника (рис. 3.18).

Введемо декартову систему координат , спрямувавши вісь вздовж направляючих – стінок циліндру – (рис. 3.18) та спроектуємо рівняння (1) на ці вісі. Скористуємось тим, що поршень (і точка ) не рухається вздовж осі, тому

= 0,

звідки визначаємо алгебраїчне значення тангенціального прискорення

== – 1,8/0,707 + 4,0 = 1,5 м/с²,

та кутове прискорення ланки

== 1,5/0,75 = 2 рад/с².

Ми отримали доданий знак, а це значить, що наше припущення про напрям вірне, отжевектор кутового прискорення ланки спрямований за рисунок (рис. 3.18).

Точка може рухатись тільки вздовж осі ,тому повне прискорення точки спрямоване вздовж неї

= =.

Підставляючи в останню формулу отримані результати, знаходимо повне прискорення точки

= 4,8 + 4,0·0,707 + 1,5·0,707 = 8,7 м/с²,

яке спрямовано вздовж осі .

Після того, як ми визначили кутову швидкість та кутове прискорення ланки , ми можемо знайти прискорення будь-якої точки цієї ланки за аналогічною схемою.

Так, для точки (рис. 3.18) маємо формулу

,

в який модулі прискорень обертального руху точки навколо полюса визначимо як:

= = (2,3)²·0,3 = 1,6 м/с²,

== 2,0·0,3 = 0,6 м/с².

Проектуючи вектори на осі та, визначаємо компоненти прискорення точки:

== 4,8 + 1,6·0,707 + 0,6·0,707 = 6,3 м/с²,

== – 1,8 + 1,6·0,707 - 0,6·0,707 = 1,1 м/с².

Модуль прискорення точки визначимо за формулою

= 6,4 м/с².

Відповідь: = 2 рад/с², = 8,7 м/с²,= 6,4 м/с².

Приклад 3. Визначення прискорень точок зчеплених дисків,один з яких нерухомий.

Знайти кутове прискорення малого диску та лінійні прискорення точок , для механізму, який зображено на рис. 3.19 для наступних умов:= 50 см, == 20 см,= 10 см, =4 рад/с,= 1,2 рад/с².

Розв’язання.Перш за все ми знайдемо модулі нормального і тангенціального прискорень точки:

= ·= 1,2·0,5 = 0,6 м/с²,

= · = 16·0,5 = 8 м/с².

Положення МЦШ та кутову швидкість диска 2 ми визначили у прикладі 3. Оскільки на даний момент часу малий диск 2 здійснює обертальний рух навколо миттєвого центру швидкостей (точки), то

.

Відстаньне змінюється, тому після диференціювання даного виразу отримуємо

,

звідки знаходимо кутове прискорення диску 2

== 0,6/0,2 = 3,0 рад/с²,

напрям якого співпадає з напрямом вектора .

Оберемо за полюс точку (рис. 3.20), для якої нам відомі тангенціальне та нормальне прискорення. Тоді прискорення точкиможе бути знайдено з виразу

.

Модулі тангенціального та нормального прискорення обертального руху точки навколо точкивизначимо за формулами:

= 3·0,2 = 0,6 м/с²,

= 10²·0,2 = 20 м/с².

З урахуванням напряму прискорень, накреслимо їх на рис. 3.20.

Щоб знайти модуль повного прискорення точки вводимо прямокутну систему координат, яка зображена на рис. 3.20. Спроектуємо всі вектори прискорень на декартові вісі і знайдемо компоненти повного прискорення точки:

= + sin30° +cos30° = 8 + 20·0,5 + 0,6·0,866 = 18,52 м/с²,

= – +cos30° –sin30°= – 0,6 +20·0,866 – 0,6·0,5 = 16,42 м/с².

Таким чином для модуля повного прискорення точки маємо

== 24,75 м/с².

Для визначення повного прискорення точки поступаємо аналогічно. За полюс обираємо точку, тоді

.

Модулі тангенціальної та нормальної складової прискорення обертального руху точкинавколо точкивизначимо за формулами:

= 3·0,1 = 0,3 м/с²,

= 10²·0,1 = 10 м/с².

На окремій схемі накреслимо знайдені вектори (рис. 3.21) та спроектуємо їх на осі декартової системи координат. Тоді отримуємо:

= – = 8 – 0,3 = 7,7 м/с²,

= ––= – 0,6 – 10 = –10,6 м/с².

Тоді для модуля повного прискорення точки маємо

= 13,1 м/с².

Відповідь:= 24,75 м/с²,= 13,1 м/с², = 3 рад/с².

Приклад 4. Визначення прискорень точок зчеплених дисків, коли обидва здійснюють обертання.

Знайдемо кутове прискорення малого диску та лінійні прискорення точок , для механізму, який зображено на рис. 3.22 для наступних умов:

= 3,75 рад/с,= 0, =2 рад/с,= 0,= 25 см, = 15 см,= 10 см,= 45º.

Розв’язання.Скористуємось тим, що в прикладі 4 ми визначили положення МЦШ (точка) та кутову швидкість малого колеса

= 6, 67 рад/с.

Для знаходження прискорення точоктаскористуємося ствердженням, що прискорення довільної точки плоскої фігури дорівнює векторній сумі прискорення полюса і прискорення цієї точки в її обертальному русі навколо полюса.

За полюс, як правило, вибирають точку, для якої легко знайти прискорення. Для нашої задачі це буде точка . Кутове прискорення стрижняОАдорівнює нулю. Отже швидкість точкиАз часом не змінює величину, тому точкаАбуде мати тільки нормальне прискорення (рис. 3.23)

м/с².

Крім того,= 0, отож диск 1 обертається також зі сталою кутовою швидкістю, тому не буде змінюватися величина швидкості точки дотику дисків, а тому не буде змінюватися і відстань від точкиАдо МЦШ. В результаті чого малий диск обертається також зі сталою кутовою швидкістю (без кутового прискорення). Отже= 0, тому тангенціальне прискорення довільної точки малого диска дорівнює нулю, у тому числі точокВтаC, тобто

= 0 та= 0.

Оберемо за полюс точку , для якої нам відоме прискорення. Тоді для прискорення точкимаємо вираз

.

в якому – прискорення точкипри обертальному русі навколо точки

= 6,67 м/с².

Оскільки між векторами тапрямий кут, то модуль повного прискорення точкивизначаємо за теоремою Піфагора

= 6,75 м/с².

Аналогічно знаходимо (рис. 3.23) прискорення точки :

Прискорення полюса вже відомо,- прискорення при обертанні точкинавколо точки(полюсу).

0,1= 4,45 м/с².

Між векторами такут 45°, тому

= 5,34 м/с².

Відповідь:= 6,75 м/с²,= 5,34 м/с², = 0 рад/с².