§7 Ранг системы векторов.

7.1 Определение ранга системы векторов.

О1. Рангом системы векторов называется размерность её линейной оболочки.

X = {x¹, x², …, x^k}  [X] = {₁x¹ + ₂x² +…+ _kx^k} 

 dim [X]

rang X = dim [X]

Ранг – это целое положительное число или 0.

Предложение 1. ранг системы векторов n-мерного пространства не может превосходить количество векторов системы и размерности пространства.

X = {x¹,…, x^k} c Rⁿ  rang x   min {k, n}

Пример.

rang x = 0  x =

= {,,…,}

k=3, n=4

{x¹ = (0,0,0,0)

x² = (0,0,0,0)

x³ = (0,0,0,0)

x⁴ = (0,0,0,0)}

7.2 Ранг системы и линейная зависимость.

Предложение 2. Если система лин.незав., то её ранг равен числу векторов системы.

Док-во: лин.незав. система является одним из базисов её линейной оболочки. Ранг- размерность. Размерность – это число векторов базиса, а базис – лин.нез. система.

Следствие: Ранг правильной ступенчатой системы равен числу её векторов, потому что она линейно независимая.

Предложение 3. Пусть

rang системы равен r и больше 0 (rang = r>0), тогда в системе существует лин.нез. подсистему из r-векторов, а любая подсистема из большего числа векторов будет линейно независимой.

Замечание: В этом смысле ранг системы векторов оказывается равен наибольшему числу систему, образующих линейно независимую подсистему.

Из предложений 2 и 3 вытекает теорема о ранге системы векторов.

1) Система векторов лин.нез. т и тт, к её ранг равен числу векторов системы или

2) система векторов лин.зав. т и тт, к её ранг меньше числа векторов системы.

7.3 Вычисление ранга системы векторов в пространстве Rn

О2. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждый вектор второй системы линейно выражается через векторы первой системы и наоборот каждый

вектор первой системы линейно выражается через векторы второй системы.

Обозначение эквивалентных систем III. В эквивалентных системах может быть разное кол-во векторов.

Предложение 4. Эквивалентные системы имеют один и тот же ранг (если III  rangI = rangII)

§8 Линейные преобразования и матрицы.

8.1 Линейные преобразование.

O1. Если каждому элементу

xX по некоторому правилу  отличает единственный элемент (х) из множества Y, то говорят, что задано отображение  множества Х в множество Y. Синонимом слова отображение является слово функция. Отображение обозначается следующим образом  X  Y или



X  Y. Элементы из множества X называются аргументами, а само множество X –областью отображения (функции).

Элемент (х)Х называется значением отображения  в точке х или образом элемента х при отображении . Совокупность образов всех элементов из области определения обозначается (Х) и называется образом отображения или множеством значений. А множество Y называется множеством, в котором находится значение отображения, отметим, что множество значений не обязано множеством Y.

Применительно к векторным пространствам отображение называется преобразованием или операторами.

О2. Преобразование пространства Rⁿ в пространство R^m называется линейным, если выполняются два условия:

1) образ суммы двух векторов равен сумме образов.

A(x+y) = A(x)+A(y) для

x,yRⁿ

Свойство называется аддитивностью.

2) образ произведения вектора на число равен произведению числа на образ вектора.

A(x) = A(x) – наз. однородным

Преобразование линейное, если оно одновременно и аддитивное и однородное.

Предложение 1. Для того, чтобы преобразование А пространства Rⁿ в пространство R^m было линейным необходимо и достаточно, чтобы образ любой линейной комбинации, любой системы векторов равнялся линейной комбинации образов этих векторов с теми же коэффициентами.

A(₁x¹ + ₂x² +…+ _kx^k) =

= ₁A(x¹) + ₂A(x²) +…

…+ _kA(x^k)

Следствие: линейное преобразование полностью определяется его значениями на векторах какого-либо базиса.

Пусть B={b¹,…,bⁿ} –базис в Rⁿ

Известны образы базисных векторов A(b¹), A(b²),…, A(bⁿ)

Берем любой вектор пространства Rⁿ, раскладываем по этому базису и затем, используя предложение 1, находится его образ.

xRⁿ

x = C₁b¹+C₂b²+…+C_nbⁿ

A(x)=A(C₁b¹ +C₂b² +…+C_nbⁿ)= = C₁A(b¹)+C₂A(b²)+…+C_nA(bⁿ)

Примеры линейных и нелинейных преобразований.

1) Нулевое преобразование.

0: Rⁿ  R^m, определяется формулой, образ любого вектора есть нулевой вектор 0(x) =

2) Тождественное или единичное преобразование.

E: Rⁿ  Rⁿ

Образ любого вектора, есть он сам.

E(x) = x

3) : R¹ R¹

(x) = kx +b – линейная функция.