4.3 Ортогональные и ортонормированные базисы.

О4. Базис, векторы, которого образуют ортогональную (ортонормированную) систему называют ортогональным (ортонормированным).

B = {b¹,…, b^k} – базис

B – ортогональный

0 при ij

<bⁱ, b^j> = ||bⁱ||² 0, i=j

B – ортонормированный

0, ij

g_ij = <bⁱ,b^j> = 1, i=j

Предложение 4. Формулы для координат вектора. Пусть B = {b¹, b²,…, b^k} –базис.

a = a₁b¹ + a₂b² +…+ a_kb^k =

= {a_1, a_2,…_, a_k}^B – координаты вектора базиса.

Если базис ортогональный, то координаты вектора определяются по формуле:

В – ортогональный

<a, bⁱ> <a, bⁱ>

a_i = <bⁱ, bⁱ> = ||bⁱ||² ,

i = 1,2,…, k

Если базис ортонормированный, то

a_i = <a, bⁱ>, i = 1,…, k

Док-во: умножим скалярно разложение вектора на базисный вектор с номером i.

<a, bⁱ> = <a₁b¹+…+a_ibⁱ +…+

+a_kb^k, bⁱ> = <b¹,bⁱ> +…+ +a_i<bⁱ,bⁱ>+ …+a_k<b^k,bⁱ> =

<a,bⁱ>

a_i<bⁱ,bⁱ>  a_i = <bⁱ,bⁱ>

В случае ортогонального или ортонормированного базиса координаты вектора вычисляются непосредственно с помощью скалярного умножения.

Теорема о существовании ортогонального базиса: В любом пространстве со скалярным умножением существуют ортогональные и ортонормированные базисы.

Идея док-ва состоит в следующем. Берется произвольный базис пространства и перестраивается в ортогональный базис, с помощью процедуры ортогонализации

Грамма-Шмидта.

Замечание: Вообще говоря, процедуру ортогонализации можно начинать с любого вектора, получим другой ортогональный базис.

Замечание об изоморфизме. Два векторных пространства называются изоморфными друг к другу, если между их векторами существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции, т.е. если вектору a отвечает вектор х

(а  х).

Отношение изоморфности является отношением эквивалентности. Изоморфные векторы пространства эквивалентны. Эквивалентные векторные пространства можно отождествлять, считая их одним и тем же пространством. Оказывается, что векторные пространства одной и той же размерности изоморфны друг другу. В частности все n-мерные пространства изоморфны пространству Rⁿ.

§5 Подпространство.

5.1 Определение подпространства.

О1. Непустое подмножество Р векторного пространства называется его подпространством, если выполняются два условия:

1) Для любых векторов этого подмножества их сумма находится в этом подмножестве

( x,yP  x+yP)

2) Для любого вектора из этого подмножества и любого числа  произведение числа на этот вектор находится в этом подмножестве

(xP и P  xP)

Другими словами – результаты линейной операции в подпространстве остаются в нём. Иногда говорят, что подпространство замкнутое относительно линейных операций.

Примеры подпространства.

1) подмножество из одного нулевого вектора – 0  {}

+ = 0 1

* = 0 2

2) всё пространство, очевидным образом, является своим собственным подпространством.

Замечание: Эти два подпространства имеются у любого векторного пространства и носят название тривиальных

подпространств.

Предложение 1. Подпространство векторного пространства является векторным подпространством.

Подпространство содержит нулевой и противоположный вектор и все остальные свойства векторного пространства верны в подпространстве, т.к. они верны в содержащем пространстве.

Замечание: Приставка «под» означает, что правило, по которому складываются и умножаются на число вектора подпространства, заимствованы из содержащих его пространств.

Следствие: У подпространств может существовать базис, размерность и вообще всё, что имело место в векторном пространстве.

5.2 Строение подпространств.

Предложение 2. У любого подпространства конечномерного пространства имеется размерность, а у ненулевого подпространства еще и базис.

Замечание: Процедура ортогонализации Грамма-Шмидта не выводит векторы из подпространства  в любом ненулевом подпространстве имеются ортогональные и ортонормированные базисы.

Если в подпространстве имеется базис, то имеется размерность (число векторов базиса).

Предложение 3. Любое подпространство содержит любую линейную комбинацию любой системы векторов.

Примечание: В ненулевом подпространстве векторов бесконечно много. Это предложение доказывается с помощью метода математической индукции.

5.3 Операции с подпространством.

Предложение 5. Сумма двух подпространств оказывается подпространством.

Док-во:

P, Q – подпространства

S = P+Q =

= {x: x=a+b, aP, bQ}

x,yS

x=a+b, aP, bQ

y=c+d, cP, dQ

x+y = (a+b)+(c+d) =

= (a+c)+(b+d) = x+y = S

Замечание: Сумма подпространств, называется прямой суммой, если эти подпространства пересекаются по нулевому вектору.

P+Q прямая сумма,

если PQ={}

Оказывается, что если сумма подпространств прямая, то каждый вектор сумм, единственным образом, представляется суммой векторов этих подпространств.