Ответы к ГАКу на степень бакалавра / 163

163. Информативность факторов модели. Одномерный и множественный корреляционный анализ.

В корреляционном анализе (к/а) исследуется тенденция взаимного изменения двух или нескольких СВ.

Если исследуется тенденция взаимного изменения 2-х СВ, то такой к/а называется одномерным к/а.

Если больше 2-х , то множественным к/а.

Одномерный к/а.

В качестве меры используется коэффициент корреляции :

М [ ( Х - МХ) ( У - МУ )] СОV (Х,У)

r = =

ДХ * ДУ Д Х * Д У , r - не СВ

Свойства коэффициента корреляции:

1. r Î [-1; +1 ]

2. Если при увеличении одной СВ наблюдается тенденция увеличения другой СВ, то r > 0 (положителен)

Если при увеличении одной СВ, наблюдается уменьшение другой,

то r < 0 (отрицателен) .

3. Если r = + или -1, то между СВ-нами существует детерминированная (функциональная) линейная связь.

4. Если две СВ независимы, то r = 0.

Однако, в общем случае из равенства 0 коэффициента корреляции не следует независимость СВ. Это обусловлено тем, сто коэфф. корреляции характеризует не только степень тесноты связи двух СВ, но и близость этой связи к линейной.

В общем случае, при r = 0 величины называются некоррелируемые.

Если обе величины распределены по нормальному закону, то из равенства 0 коэфф-та корреляции следует независимость этих СВ.

В к/а допустимы ошибки измерений СВ

Нам надо оценить r.

Имеется n совместных наблюдений Х и У.

_ _

å (Хi - Х) (Уi - У)

r = ( n - 1) Sx Sy

₁ _ ₁ _

где Sx = — å (Xi - X)² Sy = — å (Yi - Y)²

n-1 n -1

r - это СВ

После вычисления точечной оценки коэфф-та корреляции необходимо проверить гипотезу о равенстве 0 истинного значения коэфф-та корреляции.

1. Но : r = 0

2. r

3. a

4. Если r расчетное > r критическое, то данные противоречат исходной гипотезе и следовательно, можно утверждать о наличии корреляции между СВ-нами.

Если r расчетное < r критическое, то данные не противоречат исходной гипотезе и следовательно, утверждать о наличии корреляции нельзя.

Множественный к/а.

Используется корреляционная матрица. Допустим, есть набор из К СВ-чин.: Х1,Х2,... Хк.

1 r _{12 . . . . . . .} r_1k

r₂₁ 1

R = . .

. .

. .

r _{k1 . . . . . . . . . . . .} 1