167. Модели временных рядов. Классификация и характеристика временных рядов.

Случайный процесс - это вероятностный процесс, упорядоченный и развивающийся во времени. В любом случайном процессе в каждый момент времени значение процесса - случайная величина и имеет конкретные вероятностные характеристики, например, функцию плотности распределения. Процесс, в котором в любой момент времени вероятностные характеристики отличаются друг от друга наз-ся нестационарным процессом. Процесс, в котором вероятностные характеристики постоянны, наз-ся стационарным процессом. Если значение случайного процесса отсчитывается в конкретные моменты времени или каждому наблюдению или считыванию случайного процесса м.б. поставлен порядковый номер, то получающаяся последовательность случайных чисел наз-ся временным рядом. Анализ временных рядов ставит своей целью построение адекватной модели временного ряда и использование ее для прогноза последующих значений. Если анализируется один временной ряд, то такой анализ наз-ся одномерным анализом временных рядов. Если анализируется сов-ть временных рядов, такой анализ наз-ся многомерным.

Одномерный анализ временных рядов. Временные ряды делятся на стационарные и не стационарные. Для упрощения построения модели в большинстве случаев предполагается, что вид функции распределения временных рядов не меняется от К и представляет собой нормальный закон распределения. Для описания вероятностных характеристик такого ряда при любом К достаточно двух параметров: МО и Дисперсия. Тогда временные ряды можно представить тремя группами: 1. Стационарный временной ряд. МО и Дисперсия не зависят от К; 2. Не стационарный временной ряд. МО и Дисперсия или то и другое меняются; 3. Нестационарный по МО. МО меняется, Дисперсия постоянна. Модели временных рядов: 1. Пусть есть временной ряд Х(к). Существуют два способа представления модели; . Через прошлые значения самого ряда Х(к)=a1*(к-1)+a2*(к-2)+...+a n *(к-n)+e(к), гдеe (к) - процесс, типа “белый шум”, к-ый заключается в том, что автокорреляционная функция у непрогнозируемого процесса = 0 при всех m, отличных от 0. Подчеркнутая часть - регулярная составляющая модели, прогнозируемая. 2. Способ представления модели - скользящая средняя. Х(к) = q1e(к-1)+q2e(к-2)+...+qne(к-n)+e(к), e(к) - Случайная составляющая. Подчеркнутая часть - регулярная составляющая модели, прогнозируемая. 3. Авторегрессия скользящей средней. АРСС (p,q). X(к)-m=a1[x(k-1)-m]+a2[x(k-2)-m]+...+ap[x(k-p)-m]-c1e(k-1)-c2e(k-2)-...-cqe(k-q) +e(k), В модели присутствуют авторегрессии порядка p и скользящая средняя порядка q. Поэтому эта модель смешанная. Введем некий параметр сдвига (B).

2

Bx(k)=x(k-1) Þ B x(k)=x(k-2) и т.д.

2 p 2 q

Þ x(k)-m= (a1B+a2B +...+apB )[x(k)-m] -(c1B+c2B +...+cqB )e(k)+e(k)

p q

Þ (1-a1B-...-apB )[x(k)-m]=(1-c1B-...-cqB )e(k)

p

(1-a1B-...-apB ) - оператор авторегресии порядка p.

q

(1-c1B-...-cqB ) - оператор скользящего среднего порядка q.

Ap(B)[x(k)-m]=Cq(B)e(k) - преобразованная модель АРСС(p,q), частная автокорреляционная функция.