13 Тема. Дифференциал функции

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=f(х) имеет в точке х отличную от нуля производную

. Тогда, по теореме о связи функции, ее предела

и бесконечно малой функции, можно записать

при или + .

Таким образом, приращение функции у представляет собой сумму

двух слагаемых ‚(х) и , являющихся бесконечно малыми при

Поэтому первое слагаемое ‚ называют главной частью приращения функции

Дифференциалом функции –y=(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df (х)):

dy=(24.1)

Дифференциал dy называют также дифференцалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у = х.

Так как = = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy= dx = т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx=

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=(24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этаой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство =(х). Теперь обозначение

Производной можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx.

Пример 24.1. Найти дифференциал функции

f.

Решение: По формуле dy= находим

dy=.

Пример 24.2. Найти диферинциал функции.

Y=.

Вычислить dy при х = 0, dx=0,1..

Решение:

dy=

Подставив x=0 и dх = 0,1, получим

dy=

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала,

для этого проведем к графику функции у = f(х)

в точке М(х;у) касательную МТ и рассмотрим

ординату этой касательной для точки x+

(см. рис. 138)

. На рисунке АМ =х, АM = у. Из прямоугольного

треугольника М АВ имеем: -

tgт. е. = tg.

Но, согласно геометрическому смыслу

производной, tg(х). Поэтому АВ =

= (х) .

Сравнивая полученный результат с

формулой (24.1), получаем dу = АВ, т. е. дифференциал функции у =f(х) в тючке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этои точке, когда х получит приращение х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Применение дифференциала к приближенным вычисления

Как уже известно, приращение у функции у f(х) в точке х можно представить в виде у = (х) х +, где при х ,или у = dy+. Отбрасьювая бесконечно малую х более высокого порядка, чем х,- получаем приближенное равенство

y

причем это равенство тем точнее, чем меньше x

Этно равенство позволяет е болъшой точностью вычислмтъ приближенно приращение любой дифференцируемой функциию

Дифферевциал обычно находится значительно проще, чем прираюц ние функции, поэтому формула (24.3)широко применяется в вычислительной практике.

Прчмер 24. 3. Найти приближенное значение приращения функции y=при x=2 и .

Решение: Применяем формулу (24.3) :

dy=

Итак,

Посмотрим, какую погрешвость допустили, нычислив дяфференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем у:

1=

=

0,001

Абсолютная погрешность приближения равна

.

Подставляя в равенство (24.3) значения dy, получим

f(24.4)

или

f

Формула (24.4) используется. для вычислений приближенных значений функцийю

Пример . Вычислить приближенно агсtg 1,05.

Решение: Рассмотрим функцию ‚f(х) = агсtg х. По формуле (24.4) имеем:

arctg

т. е.

arctg

Так как x+, то при х = 1 и х = 0,05 получаем:

агсtg 1,05 агсtg1 + = + 0,025 0,810.

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не пре-

вышает величины М(х), где М — наибольшее значение , на сегменте (см. с. 167)

14-15 тема. Приложения производной

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции), Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка ,то она убывает на этом промежутке.

Точка называется точкой максимума функции, если в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство.

Точка называется точкой минимума функции, если в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство.

Значения функции в точках иназываются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Для того, чтобы функция имела экстремум в точкенеобходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулюили не существовала.

Первое достаточное условие экстремума.

Теорема. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функциименяет свой знак с плюса на минус, то точкаесть точка максимума функции, а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы ( экстремальные значения) функции.

Второе достаточное условие экстремума. Теорема.

Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке, а вторая производная в этой точкеположительна, тоесть точка минимума функции, еслиотрицательна, то- точка максимума.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке пользуемся следующей схемой.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит под графиком функции.

Функция называется выпуклой вниз на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит над графиком функции.

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна ( отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема ( необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегибаравна нулю, то есть.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точкуменяет свой знак, тоесть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых второй производная или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба .

4. Найти значения функции в точках перегиба.

При исследовании функции на построение их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность- нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.