Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
1	Производная функции в точке	Предел отношения приращения функции к приращению аргументапри:.
2.	Основные правила дифференцирования	где с- постоянное число где с- постоянное число
3.	Производные основных элементарных функций	, где - действительное число; , > 0, , 5. 6. 7. 9. , 11.
4.	Производная сложной функции	Если гдетогда
5.	Производная обратной функции	Если , а- обратная функция, то
6.	Производная функции, заданной параметрическими уравнениями	Если то
7.	Дифференциал функции	где
8.	Экономический смысл производной	Производная выражаетпредельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.
9.	Формула Лагранжа	, где a<c<b
10.	Правило Лопиталя	если и илии

12 Тема. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у =f (х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявнъм заданием функции понимают задание функции в виде

уравнения F(х; у) = 0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=f(х) можно записать как неявно

заданную уравнением f(х) - у = 0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относи-

тельно у (например, у + 2х + соsy- 1 = 0 или — х + у = 0).

Если неявная функция задана уравнением F(х; у) = 0, то для нахо-

ждения производной от-у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение

по х, рассматривая прп этом у как функцию х, и полученное затем

уравнение разрешить относительно у’.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функ-

цию .

Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравнением

x³ + у³ — 3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство

х³ + у³ — 3ху=0.

Из полученного соотношения

3х²+3у2у’—3(1у+ху)=0

следует, что у²у — ху = у — х, т. е. у=

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

(21.1)

где — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную , считая, что функции (21.1) имеют производ-

ные и что функция х = х( t). По правилу дифференцирования обратной функции

(21.2)

Функцию у = f(х), определяемую параметрическими уравнениями

(21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = у(t), где t=

По правилу дифференцярования сложной функции имеем;

С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производнуюот функции

заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример 21.2. Пусть Найти .

Решение: Имеем . Следовательно, т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, t= Тогда у= Отсюда т. е. у=.

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продиффернцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 22.1. Найти производную функции y=

Решение: Можно найти с помощью правил и формул дифференци- рования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

.

Дифференцируем это равенство по х:

Выражаем :

т. е.

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показатаельная функция y=, где u= u(х) и (х)

— заданные дифференцируемые функции от х. Найдем производную этой функции:

т. е.

или .

Сформулируем правило запоминания формулы (22.1):производная

степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии u= соnst, и производной степенной при условии =

Пример 22.2. Найти производную функции у =.

Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:

.

Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производные высших порядков явно заданной функции

Производная (х) функции у = f(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ‚(х) дифференцируема, то ее производная называется

производной второго порядка и обозначается (илих),

Итак .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у” (или ‚“(х),

Итак, ,

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n— 1) порядка:

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках ( или — производная пятого порядка).

.

Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону

S= f(t). Как уже известно, производная равна скорости точки в дан-

ный момент времени: .

Покажем, что вторая пронзводная от пути по времекп есть величина

ускореня прямолинейного движения точки, т. е. = а.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+-

скорость равна V+ , т. е. за промежуток времени . скорость измени-

лась на величину .

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время . Предел этого отношения при называется ускорением точки М

в данный момент t и обозначается буквой а: .

Но V=. Поэтому а= (), т. е. а = ‘

.Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у = f(х) задана параметрическими уравнениями

Как известно, первая производная у находится по формуле

(23.1)

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически.

Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

, т.е.

Аналогично получаем

,…

Пример 23.3. Найти вторую производную функции

Решение: По формуле (23.1)

.

Тогда по формуле (23.2)

.

Заметим, что найти можно по преобразованной формуле (23.2):

запоминать которую вряд ли стоит.