I. Элементы алгебры логики

1. Высказывания и предикаты. Отрицание высказывания

Относительно понятий и отношений между ними можно высказы­вать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Предложения, используемые в математике, могут быть записаны как в словесной форме, так и в символической. Предложения могут нести верную или ложную информацию.

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Пример. Следующие предложения являются высказываниями:

1) Все студенты МГПУ – отличники (ложное высказывание),

2) На Кольском полуострове водятся крокодилы (ложное высказывание),

3) Диагонали прямоугольника равны (истинное высказывание),

4) Уравнение не имеет действительных корней (истинное высказывание),

5) Число 21 – четное (ложное высказывание).

Следующие предложения не являются высказываниями:

1. Какая погода будет завтра?

2. х – натуральное число,

3. 745 + 231 – 64.

Высказывания принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С,…, Z.

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, одновременно быть и тем, и другим, оно не может.

Запись [А] = 1 означает, что высказывание А – истинно.

А запись [А] = 0 означает, что высказывание А – ложно.

Предложение не является высказыванием, так как о нем невозможно сказать: истинно оно или ложно. При подстановке конкретных значений переменнойх оно обращается в высказывание: истинное или ложное.

Пример. Если , то– ложное высказывание, а если, то– истинное высказывание.

Предложение называетсяпредикатом или высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

Предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание всякий раз при подстановке вместо переменных их значений.

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, которые обозначаются: и т.д.

Пример. 1) – одноместный предикат,

2) «Прямая х перпендикулярна прямой у» – двухместный предикат.

Также в предикатах переменные могут содержаться неявно. В предложениях: «Число четное», «две прямые пересекаются» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х – четное», «две прямые х и у пересекаются».

При задании предиката указывают его область определения – множество, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.

Пример. Неравенство можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а можно считать, что значение переменной выбирается из множества действительных чисел. В первом случае областью определения неравенствабудет множество натуральных чисел, а во втором – множество действительных чисел.

Одноместным предикатом, заданным на множестве Х, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него переменной из множества Х.

Множеством истинности одноместного предиката называется множество тех значений переменной из области ее определения, при подстановке которых предикат обращается в истинное высказывание.

Пример. Множеством истинности предиката , заданном на множестве действительных чисел, будет промежуток. Множество истинности предиката, заданном на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 2.

Множество истинности двухместного предиката состоит из всех таких парпри подстановке которых в этот предикат получается истинное высказывание.

Пример. Пара принадлежит множеству истинности предиката, т.к.– истинное высказывание, а паране принадлежит, т.к.– ложное высказывание.

Высказывания и предикаты могут быть как простыми, так и сложными (составными). Сложные предложения образуются из простых с помощью логических связок – слов «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…». С помощью частицы «не» или словосочетания «неверно, что» можно из данного предложения получить новое. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными.

Примеры. Составные предложения:

1. Число 42 – четное и делится на 7. Образовано из двух элементарных предложений: Число 42 четное, число 42 делится на 7 и составлено с помощью логической связки «и».

2. Число х больше или равно 5. Образовано из двух элементарных предложений: Число х больше 5 и число х равно 5 и составлено с помощью логической связки «или».

3. Число 42 не делится на 5. Образовано из предложения: Число 42 делится на 5 с помощью частицы «не».

Значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания.

Пример. Выявим логическую структуру предложения: «Если углы вертикальны, то они равны». Оно состоит из двух элементарных предложений: А – углы вертикальные, В – углы равны. Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «если…, то…». Данное составное предложение имеет логическую структуру (форму): «если А, то В».

Выражение «для любого х» или «для всех х» или «для каждого х» называется квантором общности и обозначается .

Высказывание, полученное из высказывания или предиката при помощи квантора общности, обозначается:и читается: «Для любого значениях из множества Х имеет место ».

Выражение «существует х» или «для некоторых х» или «найдется такое х» называется квантором существования и обозначается .

Высказывание, полученное из высказывания или предиката при помощи квантора существования, обозначается:и читается: «Для некоторыхх из множества Х имеет место » или «Существует (найдется) такое значениех из Х, что имеет место ».

Кванторы общности и существования употребляются не только в математических выражениях, но и в повседневной речи.

Пример. Следующие высказывания содержат квантор общности:

а) Все стороны квадрата равны; б) Каждое целое число является действительным; в) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; г) У всех студентов есть зачетная книжка.

Следующие высказывания содержат квантор существования:

а) Существуют числа, кратные 5; б) Найдется такое натуральное число , что; в) В некоторых студенческих группах учатся кандидаты в мастера спорта; г) Хотя бы один угол в треугольнике острый.

Высказывание являетсяистинным тогда и только тогда, когда предикат – тождество, т.е. принимает истинные значения при подстановке в него любых значений переменной.

Пример. Высказывание истинно.

Высказывание ложно, если при некотором значении переменной х предикат превращается в ложное высказывание.

Пример. Высказывание ложно, т.к. припредикатпревращается в ложное высказывание.

Высказывание являетсяистинным тогда и только тогда, когда предикат не является тождественно ложным, т.е. при некотором значении переменнойх предикат превращается в истинное высказывание.

Пример. Высказывание истинно, т.к. припредикатпревращается в истинное высказывание.

Высказывание ложно, если предикат является противоречием, т.е. тождественно ложным высказыванием.

Пример. Высказывание ложно, т.к. предикатявляется тождественно ложным.

Пусть предложение А – высказывание. Если перед сказуемым данно­го предложения поставить частицу «не» либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что», то получится новое предложение, кото­рое называется отрицанием данного и обозначается:  А или (читают: «не А» или «неверно, что А»).

Отрицанием высказывания А называется высказыва­ние или  А, которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А – ложно. Таблица истинности отрицания:

А 1 0 0 1

Пример. Если высказывание А: «Вертикальные углы равны», то отрицание этого высказывания  А: «Вертикальные углы не равны». Первое из этих высказываний истинное, а второе – ложное.

Для построения отрицания высказываний с кванторами надо:

1. квантор общности заменить квантором существования или наоборот;

2. высказывание заменить его отрицанием (поставить перед глаголом частицу «не»).

На языке математических символов это запишется так:

или .