практикум по элементарной математике
.pdf
__________________________________________
Ответ:
9.7Решить уравнение
2cos 2x + 5cosx + 2 = 0
Пусть cosx=t, тогда уравнение примет вид
___________________________________________
D=________________________________________
t1 = _______________________________________
t2 = _______________________________________
Вернитесь к старой переменной и решите простейшие тригонометрические уравнения:
Ответ:
Задания для самопроверки
1. |
|
3π |
|
Упростить выражение sin 3α cos 2α +sin 2α cos3α +sin |
2 |
−α ; |
|
|
|
|
2.Вычислить 2sin 210o + 4cos 420o +ctg405o ;
3. |
Решить уравнение 2 cos 2x = −1; |
|
||
4. |
Найти значение выражения |
2cos2 x +1 |
, если sin x = 0,4; |
|
5 |
||||
|
|
|
||
5.Решить уравнение 2cos2 x −1 = 0;
Ответы: 1. 0; 2. 0; 3. x = ± |
3π |
+πn,n Z ; 4.0,536; |
5. x =± |
π |
+πn,n Z |
|
4 |
|
|
4 |
|
61
Тема 10. ЛОГАРИФМЫ. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
loga b =c ac =b
а – основание логарифма а>0, a≠1
b – подлогарифмическое выражение b>0
aloga b =b, |
b >0 (основное логарифмическое тождество) |
loga a =1 |
loga 1 = 0 |
|
Свойства логарифма: |
1)loga (x y)= loga x +loga y, x > 0, y > 0
2)loga x = loga x −loga y, x > 0, y > 0
y
3)loga xk = k loga x, x > 0, k R
4)loga p x = 1p loga x, x > 0, p R, p ≠ 0
Формулы перехода к новому основанию: loga b = logc a |
, a > 0, b > 0, c > 0,c ≠1 |
||||
|
|
|
|
logc b |
|
loga b = |
1 |
|
, b > 0, b ≠1 |
|
|
logb a |
|
||||
|
|
|
|
||
lg x = log10 x |
|
− |
десятичный логарифм |
|
|
ln x = loge x |
− |
натуральный логарифм, |
|
||
где e ≈2,718281828... – число Эйлера.
b =loga ab – число представлено в виде логарифма по основанию а
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств
№ |
Вид уравнения |
Условие |
Решение |
|
или неравенства |
|
|
|
|
|
|
62
|
|
|
|
|
1 |
a f (x) = b |
a>0, b>0, a≠1 |
f(x) = loga b |
|
2 |
a f (x) = a g (x) |
a>0, a≠1 |
|
f(x) = g(x) |
3 |
a f (x) > a g (x) |
a>1 |
|
f(x) > g(x) |
|
a f (x) ≥ a g (x) |
|
|
f(x) ≥ g(x) |
|
a f (x) < a g (x) |
|
|
f(x) < g(x) |
|
a f (x) ≤ a g (x) |
|
|
f(x) ≤ g(x) |
4 |
a f (x) > a g (x) |
0< a <1 |
|
f(x) < g(x) |
|
a f (x) ≥ a g (x) |
|
|
f(x) ≤ g(x) |
|
a f (x) < a g (x) |
|
|
f(x) > g(x) |
|
a f (x) ≤ a g (x |
|
|
f(x) ≥ g(x) |
5 |
loga f(x) = b |
a>0, a≠1 |
|
ab = f(x) |
|
|
|
|
|
6 |
loga f(x) = loga g(x) |
a>0, a≠1 |
|
{ОДЗf (x) = g(x), |
|
|
OДЗ: {gf ((xx)) >> |
00 |
метод потенцирования |
7 loga f(x) > loga g(x) |
a>1 |
|
{ОДЗf (x) > g(x), |
loga f(x) ≥ loga g(x) |
OДЗ: {gf ((xx)) >> |
00 |
{ОДЗf (x) ≥ g(x), |
|
|
|
{ОДЗf (x) < g(x), |
loga f(x) < loga g(x) |
|
|
|
|
|
|
{ОДЗf (x) ≤ g(x), |
loga f(x) ≤ loga g(x) |
|
|
|
63
8 |
loga f(x) > loga g(x) |
0< a <1 |
|
{ОДЗf (x) < g(x), |
|
loga f(x) ≥ loga g(x) |
OДЗ: {gf ((xx)) >> |
00 |
{ОДЗf (x) ≤ g(x), |
|
|
|
|
{ОДЗf (x) > g(x), |
|
loga f(x) < loga g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
{ОДЗf (x) ≥ g(x), |
|
loga f(x) ≤ loga g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
10.1Вычислить: log3 log4 9 4
Вычислите внутренний логарифм log4 9 4 = ______________
Тогда внешний логарифм равен ________________________
Ответ:
10.2 Вычислить
log3 8 −2log3 2 +log3 92
Примените свойства логарифма: 2log3 2 = ___________
Используйте первое и второе свойства логарифма:
_______________________________________________
_______________________________________________
Ответ:
64
10.3 |
Вычислить |
|
|
|
1 |
|
||
|
log7 |
(49a) , если loga 7 = − |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Примените первое свойство логарифма: |
|||||||
|
log7 (49a) = ____________________________ = |
|||||||
|
Вычислите первый логарифм, а во втором перейдите к |
|||||||
|
основанию а: |
|
|
|
|
|
||
|
=______________________________________________ |
|||||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
||
10.4 |
Решить уравнение |
|
|
|
|
|||
|
8−1 |
4x+1 = (0,25)0,5 |
|
|
|
|
||
|
Перейдите к основанию 2 используя: 8=23, 4=______, |
|||||||
|
0,25=___________ . |
|
|
|
|
|||
|
После применения свойств степени |
|
||||||
|
получается уравнение (заполните показатели степени): |
|||||||
|
2 |
−−−−−−−−−−−−−−−− |
= |
2 |
−−−−−−−−−−−−−− |
. |
||
|
|
|
|
|
||||
|
Приравняйте показатели степени и решите полученное |
|||||||
|
уравнение: |
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
||
65
10.5Решить неравенство
271−x <91−2x
Перейдите к основанию 3, напишите неравенство для показателей степени и решите его:
Ответ:
10.6 Решить уравнение
4log5 x −3log5 25x =1
Найдите ОДЗ: ___________________________________
Занесите 4 и 3, стоящие перед логарифмов, в логарифм (третье свойство логарифма):
________________________________________________
66
Примените второе свойство логарифма и 1, стоящую в правой части, представьте в виде логарифма по основанию 5:
log5 _______________ =log5 ______
Пропотенцируйте (отбросьте логарифмы) и решите полученное уравнение:
Ответ:
10.7Решить уравнение
4x+1 −4x−2 = 252
Вынесите за скобку наименьшую степень (не забудьте, что вынесение за скобку – это деление, а при делении степеней показатели степени вычитаются)
___________________________________________
После вычисления в скобках, выразите степень и решите полученное уравнение:
Ответ:
67
10.8 |
Решить неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
log 1 (2x −1) ≥ −4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдите ОДЗ: _______________________________. |
|
1 , |
||||
|
Представьте число –4 |
в виде логарифма по основанию |
|||||
|
используйте формулу b =loga ab : –4=__________________ |
2 |
|||||
|
|
||||||
|
Получаем неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
log 1 (2x −1) ≥log 1 ________ . |
|
|
|
|
||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Так как |
1 <1, то при потенцировании |
знак неравенства |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
меняется на противоположный: |
|
|
|
|
||
|
С учетом ОДЗ: |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
10.9 |
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
32x −2 3x −3 =0 |
|
|
|
|
|
|
|
Сделайте |
замену |
переменной |
3x =t, |
t > 0 и |
решите |
|
|
полученное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
Вернитесь к старой переменной и найдите x: |
|
|
|
|||
|
___________________________________________ |
|
|
||||
68
Ответ:
Задания для самопроверки
1.Вычислить 2 10lg14−lg 4+lg 5 ;
2. |
Решить уравнение 4 |
x2 |
+ |
x |
|
|
=8; |
||||
|
2 |
||||
3.Решить уравнение log7 (x −6) = 2;
4.Решить неравенство 2 4x−3 ≤82−3x ;
5.Решить уравнение log52 x −3log5 x + 2 = 0 ;
Ответы: 1. 35; 2. x1 = −32 ; x2 =1; 3. x =55; 4. ( –∞;1]; 5. x1 =5; x2 =25;
69
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Антонов, В.А. Математика: учебное пособие для подготовки к единому государственному экзамену / В.А. Антонов, П.А.Ческидов. − Челябинск:
Изд-во ЮУрГУ, 2009. − Ч.I. −173 с.
2.Антонов, В.А. Математика: учебное пособие для подготовки к единому
государственному экзамену / В.А. Антонов, П.А.Ческидов. − Челябинск:
Изд-во ЮУрГУ, 2009. − Ч.II. −207 с.
3.Васильев Ю.С. Математика. Система дистанционного образования: учебно-практическое пособие / Ю.С. Васильев, П.Г. Витовтов, А.С. Грищенко и др. – Челябинск: 2000. – 181 с.
4.Грищенко, А.С. Сборник задач для аудиторных и домашних заданий
для 11 класса / А.С. Грищенко. – Челябинск: 2004. − 67 с.
5.Единый государственный экзамен 2009. Математика. ЕГЭ – М.: Интеллект-Центр, 2009. − 272 с.
6.Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2009, вступительные испытания / под
ред. Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион – 2008. − 400 с.
7. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010. Учебно-тренировочные тесты / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион –
2010. − 144 с.
8. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2011: учебно-методическое пособие / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион –
2010. − 416 с.
9.Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. Единый государственный экзамен 2013. Математика. Учебное пособие./ А.В. Семенов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, П.И.Захаров; под редакцией И.В. Ященко; Московский центр непрерывного математического образования. – М.: Интеллект-Центр, 2013. – 80 с.
10.Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы.: Учебное пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Сканави. – 6-е изд., М.: «Оникс 21 век», «Мир и Образование», «Альянс-В», 2003. – 608 с.
70