1.1.2. Формы записи линейных дифференциальных уравнений

Линейные ДУ могут быть записаны в естественной, символической и операторной формах.

Естественная форма:

(1.5)

Если производная имеет порядок не выше 2-го, то можно использовать верхние точки в обозначениях производных: .

Символическая форма:

Производная n-го порядка заменяется символом.

После замены уравнение (1.5) примет более простой вид:

(1.6)

Уравнение, записанное в такой форме, можно преобразовывать как алгебраическое. Однако решение уравнение не упрощается.

Операторная форма:

В основе операторной формы записи уравнения лежит преобразование Лапласа:

Если применить преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (1.5), то при рулевых начальных условиях для переменных х и у и их производных можно получить следующее операторное уравнение:

(1.7)

Следует обратить внимание формальное совпадение записей в символической (1.6) и операторной (1.7) формах. Однако смысл символа p в операторной и символической формах совершенно различен – если в первой форме p является символом, и вводится исключительно для упрощения записи уравнения, то во втором – это комплексная переменная р, введение которой влечет за собой простой подход к решению уравнения.

Операторная форма записи является основной формой, используемой в теории автоматического управления.

1.1.3. Передаточная функция

Учитывая то, что звенья описываются дифференциальными уравнениями, реальные сигналы заменяются их изображениями по Лапласу и дальнейшие расчеты ведутся в операторной форме.

Передаточная функция W(p)– это отношение изображений выходного y(p) и входного x(p) сигналов при нулевых начальных условиях:

(1.8)

1.1.4. Таблица преобразований Лапласа

В ТАУ подавляющее большинство задач решается с использованием передаточной функции W(p) и изображений х(р) от нескольких простейших функций x(t) (табл.1.1).

Таблица 1.1

Таблица преобразований Лапласа

Оригинал x(t)	Изображение x(p)	Название
	1	Дельта-импульс
1(t)		Единичный сигнал
t		Линейная функция
		Экспонента
		Затухающие гармонические функции
		Затухающие гармонические функции

1.1.5. Типовые воздействия и реакции на них

Методы ТАУ позволяют рассчитать реакцию на любое входное воздействие, однако систематизированные результаты, обладающие некоторыми закономерностями, можно получить для ограниченного ряда входных сигналов. В качестве типовых входных сигналов рассматривают те, которые чаще всего встречаются на практике, а также в некотором смысле являются наиболее сложными для отработки их САУ.

Реакция на единичный скачок 1(t) - переходной процессh(t) (рис.1.2)

В электрических системах единичному скачку соответствует включение напряжения питания. Этот вид сигнала является для системы наиболее тяжелым для отработки. Если система отработает этот сигнал с заданными показателями качества, то наверняка будет качественно работать при других плавно изменяющихся сигналах.

Реакция на дельта-импульс - функция веса k(t) (рис.1.3)

Дельта-импульс имеет нулевую длительность, бесконечную амплитуду и единичную площадь (S=1). Дельта-импульсу соответствует помеха в электрических схемах и удар в механических системах. Математический аппарат и свойства функции веса широко используется в расчётах импульсных САУ.

Реакция на гармонический сигнал - частотные характеристики (рис.1.4)

Если на вход линейной системы воздействует гармонический сигнал с амплитудой X_m и фазой _x, то на выходе будет сигнал той же частоты, однако другой амплитуды Y_m и фазы _y.

Изменения амплитуды Y_m и фазы _y выходного сигнала y(t) зависят от частоты  входного сигнала x(t). Эти зависимости определятся следующие частотные характеристики: АЧХ (амплитудно-частотную) и ФЧХ (фазо-частотную):

АЧХ: - коэффициент передачи (усиления) звена на данной частоте, равный отношению амплитуд сигналов;

ФЧХ: - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами.

Частотные характеристики очень просто находятся с использованием выражения передаточной функции W(p) (см. тему 1.3).