matametika_bevz_standart_1 / matametika_bevz_standart

2 Ðîçäië

470. Знаючи, що sin α = , обчисліть значення cos α, tg α i ctg α за умови, що:

а) 0 < α < ; б) < α < π.

471. Знаючи, що cos α = 0,8, обчисліть значення sin α, tg α i ctgα за умови, що:

а) 0 < α < ; б) – < α < 0.

472. Спростіть вираз:

473. Доведіть тотожність:

а) (1– sin2 α) tg2 α = sin2 α; б) (1– соsα)(1 + соsα) = sin2 α;

в) 1– sin2 α – соs2 α = 0; г) sin4 α + sin2 αсоs2 α + соs2 α = 1.

474. Доведіть тотожність:

а) sin4 α – соs4 α = sin2 α – соs2 α;

в) sin2 α – sin2 β = соs2 β – соs2 α;

Á

Доведіть тотожність (475–477).

475.a) 1 + sinα + соsα + tgα = (1 + соsα)(1 + tgα);

б) (sinα + tgα)(соsα + ctgα) = (1 + sinα)(1 + соsα).

476.a) sin3 α (1 + ctgα) + соs3 α (1 + tgα) = sinα + соsα; б) 3(sin4 α + соs4 α) – 2 (sin6 α + соs6 α) = 1.

477.

102

ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ §13

481. Знайдіть значення:

а) sinα, tgα, ctgα, якщо соsα = – і 90° < α < 180°;

б) соsα, tgα, ctgα, якщо sinα = –0,8 і 180° < α < 270°; в) sinα, соsα, ctgα, якщо tgα = –1 і 270° < α < 360°.

482.Побудуйте графік функції у = 4 – x2. При яких значеннях вона зростає, а при яких спадає? Знайдіть її нулі і найбільше значення.

483.Спростіть вираз:

484.Розв’яжіть рівняння:

§13. Формули зведення

перпендикуляри АK на вісь х, ВL на

вісь у, дістанемо два рівних трикутники АОK і ВОL (оскільки

АОK = ВОL і ОА = ОВ). Тому ОL = ОK і ВL = АK, тобто

Кутам + α i – α на одиничному колі відповідають точки,

симетричні відносно осі у (мал. 62). Їх ординати рівні, абсциси протилежні. Тому

103

Кутам π – α і α також відповідають точки одиничного кола, симетричні відносно осі у (мал. 63). Тому

відають точки одиничного кола, симетричні відносно початку координат (мал. 64). Їх ординати протилежні й абсциси також протилежні. Тому

sin(π + α) = –sinα, соs(π + α) = –соsα,

Мал. 64

104

ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ §13

Кутам 2π + α і α відповідає одна й та сама точка одиничного кола, тому

sin(2π + α) = sinα, соs(2π + α) = соsα.

З попередніх міркувань маємо 16 формул.

Ще 16 подібних формул можна довести для тангенса і котангенса:

Отже,

Усі ці 32 формули називають формулами зведення, оскільки вони дають можливість кожну тригонометричну функцію довільного кута (а отже, і числа) звести до тригонометричної функції гострого кута. Запам’ятовувати кожну із цих формул немає потреби, краще користуватися загальним правилом.

Щоб зрозуміліше сформулювати правило, домовимося синус вважати кофункцією косинуса, і навпаки, а тангенс – кофункцією котангенса, і навпаки.

Говоритимемо також, що кут зводжуваної функції відкладається від горизонтального діаметра, якщо він має вигляд π ± α або 2π ± α, чи від вертикального діаметра, якщо він має вигляд

± α або ± α.

Правило зведення можна сформулювати так: якщо кут даної тригонометричної функції відкладається від вертикального діаметра, то її замінюють кофункцією, якщо ж – від горизонтального діаметра, то її назву не змінюють. Знак ставлять такий, який має значення даної функції за умови, що кут α гострий.

П р и к л а д. Нехай треба спростити вираз . Перед

результатом треба поставити знак мінус, оскільки коли кут α

гострий, то кут належить ІІІ чверті і його косинус від’єм?

тому назву функції соs треба замінити на sin. Отже,

= –sinα.

105

2 Ðîçäië

Зауваження. Користуючися правилом зведення, ми тільки для зручності приймаємо, що кут α гострий. Насправді ж у кожній із формул зведення під змінною α можна розуміти й міру довільного кута, зокрема й від’ємного, і будь?яке дійсне число.

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

1.Що таке формули зведення?

2.Сформулюйте правило зведення.

3.Які знаки мають тригонометричні функції в кожній із чвертей?

4.Яку функцію називають кофункцією для синуса? А тангенса?

5. Чи може у формулі зведення α дорівнювати ? А 120°?

1. Доведіть тотожність:

Р о з в ’ я з а н н я.

2. Дану тригонометричну функцію зведіть до найменшого додатного аргументу:

а) sin845°; б) соs212°.

Р о з в ’ я з а н н я. а) sin 845° = sin (360° 2 + 125°) = sin 125° = = sin(90° + 35°) = соs35°;

б) соs212° = соs(180° + 32°) = –соs32°.

485. Які функції мають бути у порожніх клітинках таблиці?

соs

tg

106

493.

494.

ґ) tg(3π + α); д) cos(π + α); е) ctg(3π – α); є) соs(α + 5π).

107

2 Ðîçäië

Á

Спростіть вираз (503, 504).

503.

504.

Зведіть функцію до найменшого додатного аргументу (509, 510).

509.

510.а) sin(3π + 2); б) соs(5π – 3); в) tg(0,5π + 1); г) сtg(π –4). Спростіть вираз (511–514).

511.

512.

108

ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ §14

513.

514.

Доведіть тотожність (515, 516).

515.

516.

517.Доведіть, що коли α, β, γ – кути трикутника, то:

518.У скільки разів і на скільки порядків число 4 107 більше за 8 106?

519.Розв’яжіть рівняння:

520.Які із функцій у = х2, у = –х, у = 0,5х3, у = 2х2 + 3, у = парні, які – непарні?

§14. Властивості і графіки

тригонометричних функцій

Одна з найважливіших властивостей тригонометричних функцій в тому, що кожна з них – функція періодична.

Функцію у = f(x) називають періодичною, якщо існує таке дійсне число Т ≠ 0, що для всіх значень х із області її визначення

f(x – T) = f(x) = f(x + T).

Число Т називають періодом даної функції. Якщо Т – період деякої функції, то nТ, де n Z і n ≠ 0, також її період. Графік

109

2 Ðîçäië

Мал. 66

такої функції паралельним перенесенням уздовж осі х на Т, 2Т, ..., nТ одиниць вліво чи вправо відображається на себе (мал. 66).

Розглянемо спочатку конкретний приклад.

Функція у = sin х. Синус числа х – ордината точки одиничного кола, яка відповідає числу х (див. § 11). Оскільки кожному дійсному числу х відповідає єдине значення sin х, то у = sin х – функція, визначена на множині всіх дійсних чисел R. Щоб виявити найважливіші властивості цієї функції, побудуємо її графік. Спочатку – тільки на проміжку [0; 2π].

Складемо таблицю значень.

Точки з відповідними координатами нанесемо на координатну площину (мал. 67, а). Якщо обчислити значення sin х для всіх дійсних значень х і позначити на координатній площині всі відповідні їм точки, то дістанемо криву, зображену на малюнку 67, б. Це – графік функції у = sinх на [0; 2π].

На побудованому графіку показано, як змінюється ордината точки одиничного кола, здійснюючи о д и н повний обхід цього кола. На другому, третьому і наступних обходах усе повторюється. Це випливає також із тотожності sin(х + 2πn) = sin х. Тому, якщо криву, зображену на малюнку 67, б, перенести на кожний з проміжків [2nπ; 2(n + 1)π], де n – числа цілі, дістанемо весь графік (мал. 68).

Мал. 67

110

ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ §14

Функція у = sin х періодична з найменшим додатним періодом 2π. Це видно на графіку функції (мал. 68). Можна міркувати й інакше. Оскільки завжди sin(х – 2π) = sinx = sin(х + 2π), то 2π – період функції у = sin х. А коли ця функція мала б додатний

період l < 2π, тоді правильною була б рівність .

А за умови, що 0 < l < 2π, ця рівність неправильна (переконайтесь у цьому за допомогою одиничного кола). Отже, найменший додатний період функції у = sinх дорівнює 2π.

у = sin х

Мал. 68

Графік функції у = sinх – синусоїда (мал. 68); вона нескінченна в обидва боки. Розглянемо одну матеріальну модель синусоїди.

Якщо обгорнути свічку кілька разів папером, потім перерізати її гострим ножем під кутом 45° до осі свічки (мал. 69) і розгорнути папір, матимемо матеріальну модель частини синусоїди.

Мал. 69

Оскільки для кожного значення х правильна рівність cosx =

то графік функції у = соs х – така сама синусоїда,

тільки зміщена вздовж осі х на одиниць уліво (мал. 70).

Мал. 70

111