Fizika - V. F. Dmitriyeva

§ 95. Принцип суперпозиції полів

Принцип суперпозиції

Результуюча сила, яка діє на точковий заряд <2 з боку двох <2і і 0,2 •> дорівнює геометричній сумі сил Г, і Р2 3 боку

із зарядів й і б2 . Оскільки

Р= Є Е 1 + Є Е 2 = Є ( Е 1 + Е 2 ) .

Зцієї рівності випливає, що геометрична сума Е, + Е2 - результуюча

поля в точці, де розміщений заряд (рис. 10.5):

одне. Завдяки цьому принципу, за (10.7) , пруженості поля точкового заряду, можна знайти напруг

:у будь-якій точці.

Уразі векторного поля обчислення напруженості ц2<ор системи електричних зарядів спрощують, використо-

вуючи теорему Остроградського-Гаусса:

270

Диполь

Систему, яка складається з двох однакових за значенням, але /ч іиойменних точкових зарядів, розміщених на деякій відстані 1 один від (><)ного, називають електричним диполем (рис. 10,6). Відрізок прямої /,

і V і між векторами р і Е. В однорідному полі момент нари сил прагне повернути диполь так, щоб вектори р і Е були паралельні,.

§ 96. Робота сил електростатичного поля

На заряд, розміщений у стаціонарному (такому, що не змілюгться з часом) електричному полі, діє сила, внаслідок чого можливе переміщення заряду. Внаслідок переміщення заряду в електричному полі никопується робота. Якщо заряд переміщується на Дл*, то під дією сили і виконується робота

А А = РАз со$ а ~~ ()£А$ соз а,

Якщо поле неоднорідне, як, наприклад, поле точкового заряду, то напруженість поля в різних його точках різна. Щоб обчислити роботу в

271

цьому випадку, з'ясуємо, чи залежить робота електричних сил при переміщенні заряду з однієї точки поля в іншу від форми шляху.

Нехай заряд переміщується з точки / у точку 2 в однорідному електричному полі напруженістю Е (рис. 10.8). З точки 1 у точку 2 заряд може переміститись різними траєкторіями, наприклад 1-2 і 1-3-2. Порівняємо роботи сил поля в обох випадках.

За формулою (10.10), робота сил поля на шляху 1-2

Отже, Л[2 =А132, тобто робота сил електростатичного поля при переміщенні заряду не за-

лежить від форми шляху, а залежить тільки від взаємного розміщення початкової і кінцевої точок траєкторії.

Це - властивість потенціальних полів. З неї випливає (рис. 10.9), що робота, яка виконується в електричному полі по замкненому кон-

туру, дорівнює нулю (х1 = х2).

При переміщенні зарядів змінюється взаємне розміщення їх, тому робота, яку виконують електричні сили, у цьому разі дорівнює зміні, потенціальної енергії заряду, який переміщується:

Це твердження є слушним як для однорідного, так і для неоднорідного поля.

272

иі і ілляються один від одного, то потенціальна енергія їх притягання ні і гмна і прямує до нуля при г —> оо (крива 2).

ІІотенціальна енергія заряду в однорідному полі зв'язана з напружені-

»по поля співвідношенням

іг \ координата заряду, коли вважати, що її = 0 при х = 0 .

§ 97. Потенціал.

Різниця потенціалів. Еквіпотенціальні поверхні

Потенціал

Візьмемо в електричному полі яку-небудь точку за початкову і відлічуватимемо від неї потенціальну енергію. Щоб перемістити заряд з початкової точки в певну точку поля при будь-якій формі шляху, треба

мі рлтити одну й ту саму роботу А (див. § 96). Тому

ибудь-якій точці поля потенціальна енергія II заряду чисельно

юріїшює роботі, яку треба затратити для переміщення заряду в цю

іочку.

І Іодібно до того, як потенціальна енергія в полі сил тяжіння пропорційна ч.и і тіла, потенціальна енергія електричного поля пропорційна заряду:

11 питають електричним потенціалом поля. Вона характеризує потенцій н>ну енергію, яку мав би позитивний одиничний заряд, вміщений у дану птчку поля.

273

Різниця потенціалів

Щоб обчислити повну потенціальну енергію заряду, треба знайти роботу сил поля для переміщення заряду з певної точки поля н точку, де поля немає, наприклад на нескінченно велику відстань від зарм дів, які створюють поле.

Згідно з (10,12), роботу сил можна обчислити як різницю потенціал ш початкової і кінцевої точок траєкторії;

Величину (ср| - ф2) називають різницею потенціалів електростатичного поля. Поняття різниці потенціалів (або напруги) застосовне тільки до двох різних точок поля.

У СІ різницю потенціалів вимірюють у вольтах; 1 В = 1 Дж/Кл. Потенціал є енергетичною характеристикою електростатичного поля і

як скалярна величина може набувати додатних або від'ємних значень. Треба звернути увагу, одо фізичний зміст мас різниця потенціалів, бо через неї виражають роботу сил поля по переміщенню заряду. Говорячи про потенціал у певній точці поля, завжди розуміють різницю потенціалів, маючи на увазі» що одну з точок взято наперед і вона лежить на "нескін • ченностГ. Оскільки значення потенціальної енергії залежить від вибору нульового рівня енергії, то значення потенціалу можна визначити тільки відносно деякого рівня, взятого за нульовий.

Точку з нульовим потенціалом звичайно визначають залежно від умов задачі. Розв'язуючи задачі, доцільно вважати, що нулю дорівнює потенціал Землі, а не нескінченно віддалених точок електричного поля. Вибір нульового рівня потенціалу не впливає на значення різниці потенціалів.

Для розв'язування задач часто треба знати потенціал електростатичного поля точкового заряду () у точці на відстані г від заряду:

(10.17)

Ця формула справедлива за умови, що потенціал прямує до нуля при

г0.

Формулою (10.17) можна користуватися і для визначення потенціалу електричного поля кулі з радіусом Я і зарядом 0, рівномірно розподіленим по його поверхні (г > К). Всередині кулі потенціал поля сталий і дорівнює

(10.18)

274

Еквіпотенціальні поверхні

Графічно електричне поле можна зображати не тільки силовими лініями, а й за допомогою еквіпотенціальних поверхонь - сукупності і очок, які мають однаковий потенціал. Перетинаючись з площиною рисунка, еквіпотенціальні поверхні дають еквіпотенціальні лінії.

11 а рис. 10.11 зображено потенціальні лінії поля точкового позитивного мриду. Навколо цього заряду можна провести безліч еквіпотенціальних пінні, їх проводять так, щоб різниця потенціалів для двох будь-яких сусідніх піній була однакова (наприклад, 1 В). Таке зображення еквіпотенціальних і іній дає наочне уявлення про те, як змінюється різниця потенціалів у

«і ряд <2 на відстань х з точки 1 у точку 2 уздовж лінії однакового потенціалу (ф сопзі). У цьому разі роботу визначають за формулою А - 0(фі ™ <р2) -

Нп'Шочас А- Ех- соз а ()Ех соз а; отже, - ф 2 ) = (Жххоза .

()скільки ф = сопзї, то ф, - ф2 = 0 (ліва частина рівняння дорівнює нупо п отже, і права частина має дорівнювати нулю). Оскільки <2, х і Е не можуть дорівнювати нулю, то соз а = 0, звідки а = 90°. Отже,

пек і ор напруженості електричного поля Е завжди перпендикулярним до поверхні однакового потенціалу.

('іпінимось на двох важливих властивостях еквіпотенціальних поверхонь:

І) у кожній точці еквіпотенціальної поверхні вектор напруженості ми ні перпендикулярний до неї і напрямлений у бік спадання потенціалу;

1) робота переміщення заряду не еквіпотенціальній поверхні дорівммн нулю.

275

Виходячи з властивостей еквіпотенціальних поверхонь, за відомим розміщенням еквіпотенціальних поверхонь у кожній точці поля можна визначити напрям вектора напруженості і, навпаки, за відомим розміщен ням ліній напруженості можна побудувати еквіпотенціальні поверхні.

Якщо електричне поле утворене кількома зарядами, то потенціал в якій-небудь точці поля дорівнює алгебричній сумі потенціалів, створених

кожним зарядом:

п

Ф = £ Ф І -

/=і

§98. Зв'язок між напруженістю

ірізницею потенціалів електричного поля

Зв 'язок між напруженістю і різницею потенціалів

Електричне поле має дві характеристики: силову (напруженість Е) і енергетичну (потенціал ер). Напруженість і потенціал - різні характеристики тієї самої точки поля; отже, між ними повинен існувати однозначний зв'язок.

Якщо відомо розподіл потенціалу, тобто його значення в кожній точці поля, то можна знайти і напруженість цього поля в кожній точці. Розглянемо роботу електричних сил в однорідному полі при переміщенні позитивного заряду з точки 1 у точку 2 (рис. 10.13):

А = дЕхАх,

де Ех - проекція вектора напруженості Е на напрям х.

З другого боку, цю роботу можна визначити через різницю потенціалів на кінцях відрізка Лт:

А = 0( ф 1 - ф 2 ) = -ЄАф, де Аф~(ф2 ~Фі) • Прирівнявши обидва вирази для

роботи, дістанемо ()ЕхАх = ~<2Дф, звідки

Аналогічно

у Ау 2 Аг

Отже, знаючи напруженість поля в кожній точці, можна обчислити різницю потенціалів між будь-якими точками.

276

Градієнт

У математиці користуються поняттям "градієнт". Градієнтом називають вектор, який показує напрям найбільшого зростання скапі І тої функції. Цей вектор позначають символом §гасіф. Отже, формулу

(10 19) можна записати у вигляді

Е= -§гасі ф.

ІІапруженість у якій-небудь точці поля дорівнює швидкості зміни 110іпіціалу в цій точці поля, взятій з оберненим знаком. Знак мінус свідчить

про те, що напрями векторів Е і §гаскр протилежні, тобто вектор Е напрямлений у бік спадання потенціалу.

Якщо поле однорідне (наприклад, поле плоского конденсатора; див. рис. 10.4, б), то напруженість визначають за формулою

ас (І відстань, а (ф1 - ф 2 ) - різниця потенціалів між обкладками конден-

І а гора.

Різницю потенціалів (електричну напругу) у Сі вимірюють у вольтах (В).

Вольт ~~ це різниця потенціалів (електрична напруга), при якій переміщення заряду в 1 Кл супроводжується роботою в 1 Дж, тобто 1 В =

іДж/Кл.

ІІапруженість електричного поля, згідно з (10.20), вимірюють у вольтах ін і метр (В/м).

§ 99. Діелектрики в електричному полі. Поляризація діелектриків

Діелектрики

Діелектриками називають речовини, які не проводять електричного струму. Термін "діелектрик" ввів М. Фарадей для позначення

• с родовища, в якому на відміну від металів може тривалий час існувати

• ісктричне поле. Діелектрики використовують для ізоляції електричних ми, а також для надання електричним установкам особливих властивосіеіі, що дають можливість повніше використовувати об'єм і масу матерііпні, з яких вони виготовлені. Діелектриками можуть бути речовини в Оуді,-якому з трьох агрегатних станів: газоподібному (азот, водень), рід-

іому (продукти нафтопереробки), твердому (бурштин, фарфор, кварц).

Відеальному діелектрику немає вільних зарядів.

277

Зовнішні електрони атомів діелектрика міцно зв'язані з ядрами. Якщо внутрішньоатомна відстань має порядок 10 10 м, то навіть елементарним електричний заряд створює поле напруженістю

Це значення майже в 10 000 разів більше від досягнутих нині (ІО7 В/м). І все-таки, якщо діелектрик внести в зовнішнє електричне поле, то він зазнає істотних змін, що пояснюється його молекулярною будовою.

Усяка молекула - це система з сумарним зарядом, який дорівнює нулю. Проте молекули мають електричні властивості, і їх у першому на ближенні можна розглядати як електричні диполі. Позитивний заряд диполя дорівнює сумарному заряду ядер і розміщений у "центрі тяжіння" позитивних зарядів; негативний заряд дорівнює сумарному заряду електронів і розміщений у "центрі тяжіння" негативних зарядів.

Усі діелектрики поділяють на три групи. До першої належать нейтралі» ні, неполярні діелектрики, що мають симетричну будову. Центри тяжіння позитивних і негативних зарядів, якщо немає зовнішнього електричного поля в них, збігаються; отже, такі молекули не мають власного дипольного моменту. До неполярних діелектриків належать бензол, парафін, поліетилен, ф горо пласт, Н2, 02 , Н2 тощо.

Дипольні полярні діелектрики мають асиметричну будову молекул, тому центри тяжіння позитивних ї негативних зарядів не збігаються.

Молекула в цьому разі є жорстким диполем. Електричний момент такого диполя (дипольний момент) є р -01 (рис. 10.14). Якщо зовнішнього поля немає, дипольні моменти молекул орієнтовані хаотично і їх

^сумарний дипольний момент дорівнює нулю. До

І10ЛЯрНИх діелектриків належать фенол, нітробен-

Рис. 10Л4

зол тощо.

Кристалічні діелектрики, які мають іонну структуру, - це слабконолярні діелектрики.

До них належать кристали КаСІ, КС1, С$С1 тощо.

Поляризація

Якщо діелектрики помістити в зовнішнє електричне поле, то вони поляризуються. Електричною поляризацією називають особливий стан речовини, в якому електричний момент деякого об \ему цієї речовини не дорівнює нулю.

278