Документ Microsoft Word

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТУ

ІМ. ГЕТЬМАНА ПЕТРА КОНАШЕВИЧА-САГАЙДАЧНОГО

Метод потенційних функцій. Функції Ерміта

Виконав:

студент IV курсу

групи 1019

Маковський Дмитро

Київ 2013

Зміст

1. Метод потенційних функцій

2. Функції Ерміта

• Формула додавання

• Диференціювання та рекурентні співвідношення

• Повнота

3. Література

1. Метод потенційних функцій

Нехай , тобто маємо алфавіт із двух класів: . Відома координата вершини вектора-реалізації  в просторі ознак. Надамо точці, що знаходиться в цій координаті потенціал , якщо , і потенціал  , якщо . Тоді може мати місце таке вирішальне правило, що створюється  потенціалами: , (2.6.1.) де  – потенційна функція. За визначенням потенційна функція є спадковою по мірі збільшення відстані поточної координати  від вершини , і монотонно спадаюча до 0 при . Вибір потенційної функції не є простою задачею, яку доводиться розв’язувати розробнику інформаційного забезпечення систем розпізнавання. Від вибору потенційної функції залежить як збіжність алгоритму, так і його точність. На рис. 2.6.1 наведено приклад побудови вирішального правила за методом потенційних функцій. Рисунок 2.6.1 Таким чином, процес навчання за методом потенційних функцій полягає в побудові вирішального правила (2.6.1.). Тоді процес розпізнівання за цим методом може здійснюватись за таким алгоритмом: якщо в точці  , де знаходиться реалізація, що розпізнається, обчислюємо  і отримуємо правило IF  THEN  ELSE . Зауваження: при великих обсягах навчальної вибірки доцільно обчислювати не вирішальне правило (2.6.1.), а оцінювати розподільну межу для класів розпізнавання (рис. 2.6.1.). У цьому випадку для підвищення оперативності розпізнавання достатньо лише визначити де знаходиться реалізація – справа чи зліва від межі. Подальше узагальнення метода потенційних функцій полягає в його рандомізації шляхом побудови роздільної межі за навчальною вибіркою з використанням процедур стохастичної апроксимації . Переваги: 

• простота реалізації, яка грунтується на фізичних законах електростатики (чим далі від заряду, тим менше його вплив).

Недоліки:

• необхідність обгрунтування вибору потенційної функції, яка впливає безпосередньо на збіжність алгоритму навчання та на достовірність розпізнавання в режимі екзамену.

• vетод носить модельний характер, оскільки орієнтований на класи що не перетинаються у просторі ознак розпізнавання.

Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів ,, що задовільняють співвідношенню:

,

з якого випливає

.

Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення:

.

Зв'язок між «фізичними» та «ймовірностними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:

. В цій статті будуть використовуватися «ймовірностні» поліноми (якщо не зазначено інше).

Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:

Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд 

Властивості

Поліном  містить члени лише тієї ж парності, що й саме число :

.

При  мають місце такі співвідношення:

.

Рівняння  має  дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини . Корені полінома  чергуються з коренями полінома .

Поліном  можна представити у вигляді визначника матриці :

2. Функції Ерміта

Формула додавання

Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:

Частковими випадками такої формули є такі:

• , .

Тоді

.

• , , .

Тоді

.

Диференціювання та рекурентні співвідношення

Похідна -ого порядку від полінома Ерміта ,  також є поліномом Ерміта: звідки випливає співвідошення для першої похідної та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:

.

Ортогональність

Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі  з вагою :

,

де  — дельта-символ Кронекера.

Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого  справедливий запис

З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена  та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, , що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:

Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:

де  — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку,  — гамма-функція.

Розклад функцій, що містять експоненту.

Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент  можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:

Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд

Повнота

Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд

Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій^[2]

де δ - дельта-функція Дірака, (ψ_n) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:

яку можна еквівалентно записати так

Функція (x, y) → E(x, y; u) є густиною для міри Гауса на R² яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому

коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L²(R), тобто

Щоб довести вищенаведену рівність для E(x, y; u), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,

Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді

З цим представленням для H_n(x) і H_n(y), можна бачити що

а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки

Диференціальні рівняння

Поліноми Ерміта  є розв'язками лінійного диференціального рівняння:

Якщо  є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як

,

де  — довільні сталі, а функції  називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій  та .

Представлення

Поліноми Ерміта допускають такі представлення:

де  — контур, що охоплює початок координат.

Інше представлення має вигляд:

.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями

• Зв'язок з функцією Куммера:

• Зв'язок з поліномами Лаґерра:

Застосування

• В квантовій механіці поліноми Ерміта входять до виразу хвильової функції квантового гармонічного осцилятора. В безрозмірних змінних рівняння Шредінгера, яке описує стани квантового гармонічного осцилятора, має вигляд:

.

Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням . Нормовані на одиницю вони записуються як

.

Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта .

Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності  на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної фунції . Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по :

,

то функції , що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовільняють початковій умові , виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:

.

Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.

Лытература

• Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.

• Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60272-9.

• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press.

• Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). «IX». Функции математической физики (російська). Москва: Физматгиз. с. 62–70.