5. Тотожно істинні формули (тавтології)

Формула є тотожно істинною, якщо вона істинна при будь-яких значеннях вхідних у неї змінних. Ось декілька широко відомих прикладів тотожно істинних формул логіки висловлювань:

Закони де Моргана :

1)  ;

2)  ;

Імплікація - бінарна логічна зв'язка, по своєму застосуванню наближена до спілок "якщо... то...".

Імплікація записується як посилка  слідство; застосовуються також стрілки іншої форми і спрямовані в іншу сторону (вістря завжди вказує на слідство).

Кон’юнкція. Зв’язок двох суджень може здійснюватися за допомогою сполучника «і».

Так, судження «Протилежні сторони прямокутника рівні і паралельні» складається з двох первинних суджень:

p = «Протилежні сторони прямокутника рівні»,

q = «Протилежні сторони прямокутника паралельні», —

з’єднаних сполучником «і».

Судження «Завтра буде тепло і сонячно» також складається з двох суджень:

p = «Завтра буде тепло»,

q = «Завтра буде сонячно».

Сполучник «і», використовуваний для з’єднання суджень, будемо позначати символом «^». Сполучення двох суджень за допомогою «і» (або «^») називається кон’юнкцією цих суджень. Таким чином, p ^ qозначає «p і q».

Для двох суджень p і q, що розглядаються разом, можливі чотири пари значень істинності (див. табл. 8) і кожній такій ситуації ми повинні приписати одне певне значення істинності кон’юнкції p ^ q. Це досягається визначенням, яке ми запишемо у вигляді табл. 11.

Таблиця 11

p	q	p ^ q
I I X X	I X I X	I X X X

З таблиці видно, що кон’юнкція p ^ q вважається істинною в тому випадку, коли істинні обидва судження: і p, і q. Саме так і вживається сполучник «і» в розмовній і літературній мові. Так, коли ми читаємо: «Дакар — столиця Сенегалу і морський порт», то розуміємо це саме в тому смислі, що істинні обидва судження: 1) «Дакар — столиця Сенегалу», 2) «Дакар — морський порт».

Табл. 11 містить усю потрібну інформацію про зв’язку «^», а саме показує значення істинності кон’юнкції двох суджень залеж­но від значень істинності кожного з них. Цю таблицю ми назвемо таблицею істинності для p ^ q (кон’юнкції p ^ q).

Диз’юнкція. Два судження можна зв’язати за допомогою спо- лучника «або». Наприклад, судження: «На новий рік я куплю  годинник або портфель» — складається з двох елементарних  суджень:

1)   «На новий рік я куплю годинник»,

2)   «На новий рік я куплю портфель», —

з’єднаних сполучником «або». Два елементарних судження, з’єд­наних між собою сполучником «або», називаються диз’юнкцією.

В українській мові сполучник «або» (як і його відповідник у російській та багатьох інших мовах) має принаймні два різних смислових значення, які лежать в основі поділу диз’юнкції на два види. Відмінність між ними пояснимо за допомогою прикладів, що наводяться нижче.

Складне судження «Бетховен народився в 1770 або в 1771 році» стверджує те, що з двох первинних суджень:

1)   «Бетховен народився в 1770 році»,

2)   «Бетховен народився в 1771 році», —

тільки одне істинне, виключаючи тим самим друге судження. Так саме в судженні «Я буду вчитися у Київському або Московському університеті» мається на увазі, що буде вибраний тільки один з цих вищих навчальних закладів. Коли слово «або» вживається у цьому смисловому значенні (одне або друге, але не обоє), то його називають виключаючим «або» і позначають символом «¯v». З’єднання двох суджень за допомогою «¯v» називається диз’юнк­цією увикючаючому смислі (або строгою диз’юнкцією). Його фор­мулу p ¯v q можна прочитати:

1)   або р, або q;

2)   р або q (але не те і друге разом).

Цілком ясно, що виключаюча диз’юнкція істинна, якщо і тільки якщо точне одне із суджень істинне (див. табл. 12).

Таблиця 12

p	q	p ¯v q
I I X X	I X I X	X I I X

Розглянемо тепер судження «Петро молодий або він недосвідчений». У цьому судженні можливість того, що Петро може бути молодим і недосвідченим, не виключається. Таким чином, дане судження залишається істинним, якщо перше або друге чи обидва первинних судження разом є істинними.

Судження «У цьому театральному сезоні я хочу піти на «Кармен» або на «Пікову даму» також припускає можливість дворазового відвідання оперного театру. Останні два судження є прикладами невиключаючого смислового значення «або». Слово «або», взяте у цьому смислі (одне або друге або обидва), позначається символом «v». З’єднання двох суджень за допомогою «v» називаєтьсядиз’юнкцією в невиключаючому смислі (або нестрогою диз’юнкцією). Формула складного судження р v qчитається так:

1)   р або q,

2)   р або q, або і те і друге разом.

Значення істинності нестрогої диз’юнкції двох суджень визначається табл. 13.

Таблиця 13

p	q	p v q
I I X X	I X I X	I I I X

Нестрога диз’юнкція є хибною, отже, в одному єдиному випадку: коли обидва судження, що входять до її складу, хибні. Невиключаючий смисл сполучника «або» у працях з юриспруденції часто позначається виразом «і/або».

Імплікація. Дуже часто два судження зв’язуються сполучником «якщо… то». Наприклад:

«Якщо буде сонячно, то я піду в парк»;

«Якщо я підготуюсь до заліку з логіки, то здам його»;

Таблиця 14

р	q	p ® q
I I X X	I X I X	I X I X

У зв’язку з цим дуже важливо засвоїти таке:

1)   імплікацію не слід розуміти як вираження відношення основи і наслідку (точніше, імплікація не передбачає такого відношення, хоч і не виключає його);

2)   зв’язка «якщо… то» не означає ніякого причинного зв’язку (точніше, не передбачає такого);

3)   смисл імплікації повністю визначений у табл. 14 і нічого іншого не передбачає;

4)   забороняється вкладати в імплікацію смисл, який виходить за межі її таблиці істинності.

Після зроблених пояснень не буде здаватися дивним жодне з наступних суджень:

«Якщо 2 ´ 2 = 4, то сніг білий» (істинне);

«Якщо 2 ´ 2 = 5, то сніг білий» (істинне);

«Якщо 2 ´ 2 = 5, то сніг чорний» (істинне);

«Якщо 2 ´ 2 = 4, то сніг чорний» (хибне).

З кожною імплікацією р ® q можна зіставити так звану обер­нену імплікацію q ® р. Ці дві імплікації взаємно обернені. Во- ни відповідають прямій та оберненій теоремам у математиці. Необхідно пам’ятати, що за значенням істинності імплікації 

Серед формул логіки висловлювань є такі, які незалежно від значень істинності їх атомів є завжди істинними. їх називають тотожно істинними формулами або тавтологіями.

Прикладом тавтології є відомий вже вам закон виключеного третього - А V -А. Побудуємо його матрицю:

Як бачимо, незалежно від того, які значення істинності мають атоми (А, -А), формула в цілому має значення істинності - "Істина" (1).

Зазначимо, що будь-який закон логіки є тотожно істинною формулою або тавтологією.

*Дві формули F1 та F2с еквівалентними (рівносильними) тоді і тільки тоді, коли їх подвійна імплікація (F1-F2) - тавтологія.

Перевірку еквівалентності двох формул здійснюють за допомогою таблиць істинності. Якщо значення їх істинності в цілому однакові, то відповідні формули еквівалентні. Перевіримо, наприклад, чи еквівалентні такі формули:

А->Ві~А УВ

Побудуємо їх таблиці істинності:

Очевидно, що подвійна імплікація цих формул є тавтологією:

(А -> В) <-* (~ А V В)

Деякими елементарними еквівалентностями логіки висловлювань є такі:

1) А—>В = ~А/В - вираження імплікації через диз'юнкцію та заперечення.

2), а) ~ (А Л В) = ~ А V - В;

Ь) ~(А/В) = ~АЛ~В- закони де Моргана.

3) А <-> В = (А —> В) Л (В —> А) - подвійна імплікація через імплікацію та кон'юнкцію.

4) Скориставшись еквівалентністю (1), отримаємо: А <-> В = (~А V В) Л (~В V А).

5) Скориставшись правилом де Моргана (2Ь), отримаємо: А <-> В н ~ (А Л ~В) Л ~(В Л -А).

Відношення еквівалентності дозволяє перетворювати одні (складні) висловлювання на інші (прості).