3. Расчет простейших заземлителей

Формулы (5) - (13) описывают потенциалы токов и проводников раз­личных форм, находящихся в однородной неограниченной среде с удельным сопротивлением р. Они не могут быть применены для расчета заземлителей непосредственно по той причине, что нас интересует поле вблизи поверхно­сти земли, которая является границей раздела двух сред - земли и воздуха. Удельное сопротивление воздуха много (примерно на 12 порядков) больше, чем земли. Такую границу в теории поля принято называть непроницаемой. Действительно, ток из земли в воздух не протекает и может распространяться только вдоль ее поверхности. Так как плотность тока равна j=σE = E/ρ, то это означает, что вблизи поверхности земли нормальная к ней составляющая напряженности электрического поля равна нулю.

Таким образом, возникает задача учета наличия непроницаемой грани­цы раздела двух сред. В теории поля для случая плоской неограниченной границы раздела имеется весьма простое решение. Для обеспечения выпол­нения граничных условий на поверхности раздела (равенства нулю нормаль­ной составляющей напряженности поля) достаточно поместить по обе сторо­ны границы симметрично к ней два одинаковых тока (тока одного направления). Тогда (рис. 7) силовые линии электрического поля (не путать с магнитным полем) будут иметь на границе раздела только тангенциальные с составляющие. Ток будет протекать только вдоль границы раздела, не пересекая её.

Итак, алгоритм расчета электрического поля постоянного тока в проводящей среде при наличии плоской неограниченной непроницаемой границы сводится к следующему. Помещаем в проводящее полупространство (землю) источник тока (например, проводник). Для обеспечения граничных условий на границе раздела сред симметрично источнику тока помещаем такой же источник в непроводящей среде. Для расчета поля в земле принимаем, что оба источника тока расположены в однородном пространстве с проводимостью земли, и поле создается обоими источниками. Результаты расчета справедливы только для проводящего полупространства, включая точки на границе раздела.

Рис. 7

Пример. Рассчитаем поле тонкого проводника (рис. 8), вертикально забитого в землю (поле вертикального заземлителя).

Рис. 8

Введем обозначения l_B = L / 2, I_B = I / 2, где l_В, I_B, — соответственно длина электрода в земле и ток, стекающий в землю. Тогда по (9) получим потенциал в точке, лежащей на поверхности земли равным

φ = (Iρ/2πL)·ln(L/r) = (I_Bρ/2πl_B)·ln(2l_B/r) = (I_Bρ/2πl_B)·ln(4l_B/d). (15)

Сопротивление растеканию заземлителя определяется как отношение его потенциала к току, стекающему с заземлителя. По этому определению получим

R_B = φ/I_B = (ρ/2πl_B)·ln(4l_B/d). (16)

Для оценки сопротивления растекания вертикального стержня можно получить элементарное выражение исходя из того, что для реального диапа­зона значений l_B/d грубо приближенно ln(l_B/d) ≈ 2π. Тогда получаем

R_B ≈ ρ / l_В . (17)

Погрешность расчета по (17) не превосходит 30%, что для грубых оце­нок можно считать приемлемым.

Кроме определения сопротивления растекания, также представляет ин­терес распределение потенциала по поверхности земли. Используя формулу (8), можно получить

________ _____

φ(x) = 2(Iρ/4πL)·ln[((L/2)+√(L/2)²+x²)/x] = (Iρ/2πL)·ln[(l_B+√l_B²+x²)/x],(18)

где х - расстояние от оси стержня. Если потенциал в точке, лежащей на рас­стоянии х от оси стержня, выразить в долях потенциала стержня (в относи­тельных единицах), то вместо (18) будем иметь

φ/φ(x) =φ(x)* =ln[(l_B+√l_B²+x²)/x] /ln(4l_B/d).

Очевидно, что выражение для φ(х)* может использоваться только при условии x≥d/2. Это выражение может быть записано в более простом виде при х>>l_b поскольку справедливо

_____

ln[(l_B+√l_B²+x² )/x] ≈ l_B/x.

Следовательно можно записать

φ(x)* ≈ l_B /(xln[4l_B/d]). (19)

Формула (19) при х>3l_В дает погрешность не более 2% (без учета принятых выше допущений при расчёте заземлителей).

Пример. Рассмотрим теперь заземлитель в виде проводника, лежащего на земле (рис. 9), или горизонтальный заземлитель.

Рис.9

Длина проводника - L, диаметр - d. Потенциал в середине проводника, находящегося в однородном пространстве, дается формулой (9). Однако в землю стекает только половина тока /, входящего в это выражение. Поэтому сопротивление растеканию в данном случае следует вычислять как отноше­ние потенциала к половине тока (к току, стекающему в землю). Учитывая это мы получим следующую формулу:

R = φ(B)/(I/2) = (ρ/πL)·ln(2L/d). (20)

Расчетная модель, представленная на рис. 9, может возникнуть, напри­мер, при падении провода воздушной линии на землю. Однако при сооруже­нии искусственных заземлителей промышленных сооружений проводники, составляющие заземлитель, обычно помещают на некотором заглублении под поверхностью земли (рис. 10).

Рис. 10

Для расчета такого простейшего заземлителя следует учитывать, в со­ответствии с изложенным выше алгоритмом, влияние проводника, расположенного симметрично над поверхностью земли. Для простоты будем считать, что L>>t. Потенциал проводника будет складываться из потенциала, созданного током, стекающим с самого проводника, а также током, стекающим с фиктивного проводника (будем называть его в дальнейшем - изображением проводника). По принципу наложения получим

__

φ = 2(Iρ/4πL)·(ln[L/r]+ln[L/2t]) = (Iρ/2πL)·ln(L²/2rt) = (Iρ/πL)·ln(L/√dt ) . (21)

Подчеркнем, что в данном случае ток / (т.е. ток стекающий с самого проводника и с его изображения) - это ток, стекающий в землю. Поэтому со­противление растеканию вычисляется именно через I:

__

R_Г = φ/I = (ρ/πL)·ln(L/√dt ). (22)

Если принять то приближение, которое использовалось при выводе (17), то грубо приближенно можно считать, что

R_Г ≈ 2ρ/L. (23)

Сопоставление (17) и (23) показывает, что сопротивление растеканию одиночного вертикального заземлителя примерно вдвое меньше, чем гори­зонтального заземлителя такой же длины. Физически это объясняется тем, что в случае горизонтального заземлителя ток имеет возможность растекать­ся только в землю (в полупространство), в то время как с вертикального за­землителя ток растекается по всему пространству.

Рассмотрим теперь распределение потенциала вокруг горизонтального заземлителя. На рис. 11 показан вид сверху на горизонтальный заглубленный заземлитель.

Рис. 11

В принципе, достаточно просто составить расчетную формулу для вы­числения потенциала в произвольной точке используя общее выражение (8). Однако в этом случае она будет иметь громоздкий вид. Поэтому ограничимся выражениями, описывающими изменение потенциала по осям координатой Y (рис. 11). При выводе формул необходимо учитывать токи, стекающие как с самого проводника, так и с его изображения.

Вначале выпишем выражение для потенциала φ(у) при х=0. Очевидно в силу симметрии необходимо вычислить потенциал по (8) от половины про­вода и помножить его на 4:

___________ _______________

φ(y) = 4(Iρ/4πL)·ln[(L/2 +√L²/4 +y²+t²)/√y²+t²] = (Iρ/πL)·ln[(L+√L²+ 4(y²+t²) )/2√

____

y²+t²].

Можно выразить потенциал в долях потенциала проводника, для чего следует полученное выражение для φ(у) разделить на потенциал проводника, в результате чего мы получим

____ __

φ(y)* = ln(L/√y²+t² ) / ln(L/√dt ). (24)

Наибольшее значение потенциал будет иметь при у = 0, т.е. в точке над серединой проводника, где из (24) следует

__

φ(y)*_max = ln(L/t) / ln(L/√dt ). (25)

Так, при L = 50 м, t = 1 м, и d = 0,02 м получим φ(y)*_max = 0,666. Выра­жение (25) показывает, что с ростом t значение φ(y)*_max будет возрастать, а при увеличении L - уменьшаться.

Для х ≥ L/2 φ(х) получим в виде

__________ _________

φ(x) = (Iρ/2πL)·ln[((x+L/2)+√(x+L/2)²+t² ) / ((x-L/2)+√(x-L/2)²+t²)] = (Iρ/2πL)·ln[(2x

__________ __________

+L +√(2x+L)²+4t² ) / (2x–L +√(2x–L)²+4t² )] (26)

откуда легко получить φ(x)* для любого х. Например, при х = L/2 имеем с учетом L>> t:

__

φ(L/2)* = ln(2L/t) / 2ln(L/√dt ).

На больших расстояниях от проводника при х = у = r >> L потенциал выражается простейшей формулой

φ(r) =Iρ/2πr,

которая совпадает с выражением для потенциала точечного источника с то­ком I, стекающем в землю.

Следующим простейшим заземлителем, который мы здесь рассмотрим, является заземлитель в виде кольцевого электрода, погруженного в землю на глубину t. Радиус кольца равен R, радиус самого электрода - r. Плоскость, в которой расположен электрод, параллельна поверхности земли. Выражение для потенциала можно получить, используя формулу (11). Полагая, что за­глубление электрода много меньше его радиуса t << R и разлагая эллиптиче­ский интеграл в ряд, придем к выражению

__

φ = Iρ/(4π²·R)·ln[8R/(r·2t)]² = Iρ/(πM)·ln[8R/√dt ],

где M = 2πR - длина окружности электрода.

Полученное выражение дает возможность определить сопротивление растекания для кольцевого электрода, которое будет равно:

__ __

R = φ/I = ρ/(πM)·ln(8R/√dt) =ρ/(πM)·ln(1,27M/√dt). (27)

Обращает на себя внимание то, что выражения (22) и (27) практически идентичны, если учесть, что M — полная длина кольцевого электрода. Разли­чие состоит только в множителе 1,27 под знаком логарифма. Это сравнение показывает, что при одинаковых длинах электродов (L=M) их сопротивле­ние растеканию будет почти одинаковым, хотя для кольцевого электрода оно незначительно больше. Так, при L/d = M/d = 200 и L/t = M/t = 50 сопротивление кольцевого заземлителя будет на 5% больше.

При выводе выражений для сопротивления растеканию простейших стержневых заземлителей, а также кольцевого заземлителя, используются диаметры стержней d, хотя можно было бы написать эти выражения и через радиус электрода. Это объясняется исторически сложившейся в отечествен­ной технической литературе практикой. Во всех книгах, посвященных рас­четам заземлителей и справочниках, формулы для сопротивления растека­нию записываются с использованием диаметра электрода, а не его радиуса. Естественно, что в данном изложении эта практика не нарушается.

На практике часто вместо круглых электродов применяют полосы (на­пример, 4x40 мм), уголки и другие электроды некруглого сечения. В этих случаях для вычисления параметров заземлителя используют понятие экви­валентного диаметра электрода. Под эквивалентным диаметром понимается диаметр такого круглого электрода, который имеет такое же сопротивление растеканию, что и электрод некруглого сечения при прочих равных парамет­рах. Вычисление эквивалентного диаметра является отдельной задачей и здесь не рассматривается. Для практических целей в табл. 3 приводятся зна­чения эквивалентных диаметров для наиболее распространенных случаев.

Перейдем теперь к рассмотрению простейших заземлителей, имеющих форму плоских пластин. Выше мы уже рассматривали формулы, позволяю­щие определить потенциал для некоторых случаев - диска и прямоугольной пластины.

Пусть заземлитель образован плоским тонким диском, лежащим на земле. Заземлитель такой формы можно встретить на практике, если провод воздушной линии электропередачи после его обрыва упадет в лужу. Тогда собственно зеркало лужи можно рассматривать как тонкую пластину.

В формуле (12) ток I — это полный ток, стекающий с пластины. Если пластина лежит на земле, то с нее будет стекать ток I / 2. Следовательно, со­противление растеканию диска будет равно при п₁ = п₂ = R

R_д = ρ/2D = 1,57ρ/πD. (28)

По своей структуре полученное выражение совпадает с формулой (23). Так как длина окружности диска равна πD, то получается, что сопро­тивление растеканию диска примерно в 1,3 раза меньше, чем сопротивление горизонтального заземлителя, длина которого равна диаметру диска.

Если дисковый заземлитель находится в земле на глубине t, то его по­тенциал, с учетом тока с изображения диска, будет равен:

______

φ=Iρ/(4πR)·[π/2+arcsin(R/√R²+4t² )], (29)

причем ток I — это ток, стекающий с диска в землю.

При условии t<<R второе слагаемое в квадратной скобке можно при­ближенно представить в виде

______

arcsin(R/√R²+4t² ) ≈ π/2(1-1,27t/R).

Тогда после упрощений получаем выражение для сопротивления рас­текания дискового заземлителя, заглубленного в землю

R_дз = ρ/2D (1-1,27t/D). (30)

Полученная формула показывает, что при заглублении в землю сопро­тивление растеканию уменьшается.

В общем случае, когда диск расположен параллельно поверхности зем­ли на глубине t, его сопротивление растеканию равно

______

R_д = ρ/4D [1 + (2/π)arcsin(D / 2√R²+4t² )]. (31)

В частности, из (31) следует, что при большом заглублении, когда t>>R, мы получим сопротивление в 2 раза меньшее, чем по выражению (28). Это соответствует случаю расположения диска в бесконечной однородной среде, когда влияние непроводящей границы не учитывается.

На практике часто вместо проводников круглого сечения используют или полосы или уголки. Все приведенные выше формулы остаются в силе, если в них диаметр круглого проводника заменить на некий «эквивалент­ный» диаметр проводника некруглого сечения. Значения «эквивалентных» диаметров для характерных случаев приведены в табл. 2.

Таблица 2