Физические характеристики различных потенциальных полей

Тип поля	Потенциал В	Напряжен­ность, В/м	Индукция	Источник поля	Характеристика сре­ды
Электростати-ческое поле	φ	E	Индукция, D Кл/м2	Электричес-кий за­ряд, Q, Кл	Диэлектрическая проницае­мость ε = ε ' • ε0, Ф/м
Поле постоянного тока в проводящей среде	φ	E	Плотность тока, J, А/ м2	Электричес-кий ток, I, А	Удельная проводи­мость σ, Сим/м

Еще одним из замечательных свойств потенциальных полей является то, что поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность равен (для электростатического поля) полному заряду, деленному на диэлектриче­скую проницаемость. Этот результат хорошо известен как теорема Гаусса. Запишем его в явном виде для различных полей:

электростатическое поле - ∫EdS=Q_Σ/ε;

^S

поле постоянного тока в проводящей среде - ∫EdS=I_Σ/σ.

^S

Из этих выражений с очевидностью вытекает и единое построение раз­мерности для индукции: она равна размерности источника поля, деленной на 1 м².

Наконец, следует отметить еще одно общее свойство потенциальных полей: эти поля подобны для геометрически подобных систем. Так, для поля постоянного тока в проводящей среде в геометрически подобных системах при сохранении распределения потенциалов напряженности в соответствен­ных точках будут обратно пропорциональны размеру.

В конце этого параграфа целесообразно еще раз напомнить, что в силу полной математической аналогии, результаты, полученные при расчете одного потенциального поля путём замены переменных, могут быть «перенесены» на другое поле.

Пример. Пусть в однородной среде с диэлектрической проницаемо­стью ε имеется точечный заряд Q. Тогда потенциал поля заряда и напряжен­ность будут описываться формулами

φ = Q/4πεr, E = Q /4πεr²,

где r - расстояние от заряда до рассматриваемой точки.

А теперь рассмотрим поле постоянного тока в проводящей среде (про­водимость среды а), созданное точечным источником тока I. Используя ана­логию полей (см. табл.1) заменим Q на I, ε на σ. Полученные формулы опи­сывают поле постоянного тока:

φ = I / 4πσr, E = I /4πσr². (6)

Очевидно, что формулы (6) могут быть получены исходя из аналогии полей или непосредственно, например из теоремы Гаусса.

2.4. Расчет электрического поля в земле

Отметим вначале, что далее все формулы (если не оговорено против­ное) мы будем писать применительно к полю постоянного тока в проводящей земле, а ее проводимость считать постоянной во всем пространстве.

Введем обозначения: полный ток с некоторого участка проводника (или со всего проводника) будем обозначать I (А), ток стекающий с единицы длины тонкого (длина провода много больше его радиуса) проводника - I _L (А/м), ток стекающий с единицы площади - I_S (А/м²).

Для случая однородной неограниченной среды поле в любой точке, об­разованное токами, стекающими с точечных источников, с тонких проводов или каких то поверхностей, может быть вычислено по принципу суперпози­ции. Применительно к нашим обозначениям это можно записать для потен­циала в следующем виде:

φ(A)_Σ = Σ I_i /4πσr_Ai + Σ_Lj (I_Lj /4πσr_Aj )dL_i + Σ_sk(I_sk /4πσr_Ak)dS_k . (7)

Физический смысл выражения (7) весьма прост: потенциал в точке А равен сумме потенциалов, образованных в этой точке всеми токами системы, в том числе стекающими с тонких проводников и поверхностей.

Аналогично выражению (7) для потенциала можно написать соответст­вующие формулы и для напряженности поля. Однако в этом случае следует помнить, что напряженность, в отличие от потенциала, является векторной величиной. Поэтому обычно записывают формулы для составляющих на­пряженности по осям координат E_x , E_y , E_z , которые могут быть вычислены как скалярные величины.

Конструкции заземлителей могут быть самыми разнообразными и включать как объемные элементы (например, фундаменты зданий или баки) так и тонкие проводники. Последнее относится к искусственным заземлителям открытых распределительных устройств электроустановок. По этой причине целесообразно рассмотреть поля нескольких типовых конструкций.

При выборе расчетного метода важную роль играет требуемая точ­ность. В технической литературе неоднократно высказывалась мысль о том, что при расчете заземлителей приемлемой является погрешность около 10%. Исходя из этого мы и будем строить все расчетные формулы. Такое положе­ние связано с тем, что снижение допустимого уровня погрешности привело бы к значительному усложнению расчетного аппарата.

Рассмотрим вначале поле в земле, образованное системами тонких про­водов. Под тонкими проводами понимаются такие, у которых отношение длины провода к его радиусу l/r >> 1 (длина провода много больше его ра­диуса). Например, провод длиной 1 м и радиусом 1 см имеет l/r = 100 и по­этому вполне может считаться тонким.

Одно из основных допущение (в рамках принятого уровня погрешно­стей), принимаемое при расчете систем тонких проводов, состоит в том, что линейная плотность тока I_L , стекающего с каждого провода, - постоянна по его длине.

На основе этого допущения можно вывести простые расчетные форму­лы для целого ряда важных в практике случаев.

Выведем вначале формулу для потенциала поля, созданного отрезком провода с I_L=const. Будем вначале считать, что провод находится в однород­ной неограниченной среде.

Выведем основную формулу для расчета поля тонких проводов (рис. 1).

т. А

Рис. 1

С отрезка провода длиной L стекает ток I. Потенциал в точке А соглас­но принципа суперпозиции (1) будет равен

_{L+a _______ _______ ____________}

φ(А) = ∫ I_L/(4πσ√x²+z² )dx = (I­ρ/4πL)∙∫ dx/√x²+z² = (I­ρ/4πL)∙ln[((L+a)+√(L+a)²+z² )/(a+

^a ____

√a²+z²)] = (I­ρ/4πL)∙ln[(L+a+n₂)/(a+n₁)] (8)

где I_L /σ = I_ρ /L; остальные обозначения ясны из рис. 1.

Теперь применим эту формулу для решения описанной выше задачи. Рассчитаем потенциал в середине тонкого провода на его поверхности (рис. 2) в точке В.

Рис.2

Так как потенциал является скалярной величиной, то для точки В мы можем дважды применить формулу (8), заменив при этом в ней L на L/2. Учитывая, что (L/2)² >> r² получим

φ(B) = 2·(I_Lρ/4π)·ln((L/2+L/2)/r) = (Iρ/2πL)·ln(L/r). (9)

Для точки D, лежащей на конце провода, аналогичным образом имеем

φ(D) = (Iρ/4πL)·ln(2L/r).

Очевидно, что φ(D)<φ(А). Это означает, что поверхность провода не эквипотенциальна. Такая ситуация объясняется тем допущением, при кото­ром производились вычисления потенциала в точках В и D.

Если рассчитывать электрическое поле провода строго, с учетом того, что его поверхность является эквипотенциальной, то мы получим, что сте­кающий с провода ток I_L ≠ const. Вблизи концов провода линейная плотность тока будет увеличиваться. Однако в при этом получить точное аналитическое выражение, связывающее ток с провода с его потенциалом не удается. Это возможно лишь приближенно. В связи с этим возникает вопрос почему мы рассматриваем формулы (8) и (9) при условии постоянства линейной плотно­сти тока?

Ответ на этот вопрос весьма прост. Приведенные выше формулы ис­пользуются по причине их исключительной простоты. Возможность их ис­пользования на практике объясняется тем, что они не приводят к большим ошибкам. Другими словами, их погрешность мала.

Физически объяснить применение формул (8) и (9) можно следующим образом. Поле, созданное током, имеющим постоянную линейную плотность I_L, образует эквипотенциальные поверхности, имеющие форму вытянутых эллипсоидов вращения с фокусами, лежащими на концах отрезка, с которого

цилиндрического проводника, а для проводящего вытянутого эллипсоида вращения.

Возникает естественный вопрос какова погрешность формулы (9)? Для расчета сопротивления (или емкости) тонкого цилиндра известны прибли­женная формула [8], согласно которой потенциал проводника равен

φ(B) = (Iρ/2πL)·[ln(2L/r)-1] = (Iρ/2πL)·ln(4L/de) = (Iρ/2πL)·ln(1,47L/d). (10)

Сравнение (9) и (10) показывает, что потенциал, вычисленный упро­щенным способом по (9), несколько меньше чем по (10). Конкретнее - при L/r = 100 погрешность (10) по сравнению с численными расчетами высокой точности составляет около 2%, а (9) - около 8%. При увеличении L/r по­грешности приближенных формул уменьшаются.

Таким образом, «замена» цилиндрического провода на эллипсоид вра­щения позволяет пользоваться формулами простейшего вида при уровне по­грешности не более 8% для реальных значений L/r. По этой причине во всех расчетах заземлителей, содержащих тонкие провода мы будем использовать следующие допущения: линейная плотность тока I_L, стекающего с проводни­ка постоянна, за потенциал проводника принимается потенциал в его середи­не. Для случаев, когда тонкий проводник имеет сложную форму, целесооб­разно «разбить» его на несколько отрезков, к которым применяются приве­денные выше допущения (подробнее см. ниже).

Рассмотрим также еще один частный случай, когда проводник имеет форму замкнутого кольца. Полагая, что ток I_L=const, можно для произволь­ной точки (обозначения на рис. 3) получить выражение для потенциала

________

φ = (Iρ/2π²)·(K(k)/√z²+(R+x)² ). (11).

где K(k) - полный эллиптический интеграл 1-го рода с модулем

___­________­­­­­___

k = √4Rx/(z²+(R+x)²) .

Рис. 3

Более детальный анализ поля кольца приведен ниже.

Теперь рассмотрим поля в земле, создаваемые плоскими пластинами. Примем, что толщина пластин много меньше их остальных размеров и этот параметр в расчете учитывать не будем. Начнем со случая плоского диска. Для него известно точное выражение потенциала в произвольной точке. Оно имеет вид (обозначения на рис. 4).

φ = (Iρ/2πD)arcsin(D/(n₁+n₂)). (12)

Рис. 4

Очевидно, для точек, лежащих на оси Z потенциал будет равен

_____

φ = (Iρ/2πD)arcsin(R/√R²+z² ). (12)

Наконец, вычислим потенциал, созданный тонкой пластиной прямо­угольной формы со сторонами а и b (см. рис. 5). Точные формулы в данном случае неизвестны. Поэтому мы вынуждены прибегнуть к приближенному решению. Примем в качестве допущения, что поверхностная плотность тока I_S, стекающего с единицы площади пластины, - постоянна. Полный ток с пластины равен I = I_S ·ab. Тогда потенциал в произвольной точке с координа­тами x₀, у₀:

_ab_____________

φ = (I_Sρ/4π)· ∫∫dxdy/(√(x-x₀)² + (y-y₀)² ).

⁰⁰

Рис.5

Анализ этого выражения показывает, что при I_S = const потенциал при­нимает разные значения в зависимости от положения расчетной точки на по­верхности пластины (от значений x₀, у₀). Наибольшее значение потенциал принимает в точке пересечения диагоналей, наименьшее - в углах пластины. В качестве приближенного значения потенциала по так называемому методу средних потенциалов [8] в этом случае принимается среднее значение потен­циала φ* на поверхности пластины, которое вычисляется следующим обра­зом:

φ* = (1/S)·∫φ dS

^S

После несложных преобразований выражение для среднего потенциала можно представить в относительно простой форме:

_

φ* = (Iρ/4π√S)·[f(b/a)/(b/a)^3/2].

Прямой расчет показывает, что функцию f(b/a) с точностью около 2%

можно представить в виде полинома при 0,1 ≤ b/a ≤ 1:

f(b/a) = -0,01+2,191(b/a)^3/2+1,25(b/a)²-0,459(b/a)³.

Используя этот результат вычислим безразмерное выражение

F(b/a) = (1/4π)·(f(b/a)/(b/a)^3/2).

Вычисления значений F(b/a) дают следующий результат:

b/а	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
F(b/a)	0,207	0,218	0,225	0,230	0,233	0,235	0,236	0,237	0,237

Он показывает, что функция F(b/a) в рассмотренном диапазоне изменя­ется слабо - она возрастает примерно на 20% при изменении b/а от 0,2 до 1. Учитывая изложенные выше требования по точности расчета заземлителеи, можно вместо F(b/a) ввести некоторое постоянное значение. Так, если при­нять F(b/a) = 0,22, то погрешность такой аппроксимации не превысит 7% по всему диапазону b/а. Поэтому в первом приближении можно считать, что по­тенциал в точке пересечения диагоналей прямоугольной пластины равен

_

φ= 0,22Iρ/√S.

Это выражение может использоваться для приближенного расчета со­противления растеканию.

Более точное выражение может быть записано в виде

_

φ = F(b/a)Iρ/√S , (13)

где значения F(b/a) могут быть взяты из приведенной выше таблицы.

Погрешность (13) не превосходит 7% по всему диапазону, что удовле­творяет поставленным выше требованиям по точности.

В том случае когда необходимо рассчитать потенциал вблизи тонкой пластины, с которой стекает ток /, необходимо учесть расстояние до нее. Это приводит к выражению (обозначения на рис. 6)

_{ab ______________________}

φ = (Iρ/4πS)∫∫(dxdy)/√(x-x₀)²+(y-y₀)²+z₀² (14)

⁰⁰

Рис.6